Задание 33 из 62Текстовые задачи

Линия №11 · Повышенный уровень

Первый насос наполняет бак за 11 минут, второй — за 15 минут, а третий — за 1 час 50 минут. За сколько минут наполнят этот бак три насоса, работая одновременно?

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: DDFADF

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 6

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Это конкретная текстовая задача FIPI DDFADF. Переведём 1 час 50 минут в минуты: 110 минут. Далее каждое число подставляется только в ту величину, которую оно описывает.

Ключевая идея:

принять всю работу за единицу, сложить производительности и обратить итоговую дробь, чтобы получить время; основная модель этой карточки записана формулой ниже

\dfrac{1}{11} + \dfrac{1}{15} + \dfrac{1}{110}

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно эту задачу: введём неизвестную, выразим через неё остальные величины, подставим данные в формулу, решим уравнение и проверим, что ответ соответствует вопросу.

Математическая модель:

p_{\text{совм}}=p_1+p_2+\ldots,\qquad t=\dfrac1p

\dfrac{1}{11} + \dfrac{1}{15} + \dfrac{1}{110}

A=1

Нужно найти: величину, указанную в вопросе условия; числовой результат 6 мин.

План решения: принять всю работу за единицу, сложить производительности и обратить итоговую дробь, чтобы получить время; основная модель этой карточки записана формулой ниже.

Совместная производительность

p_{\text{совм}}=p_1+p_2+\ldots,\qquad t=\dfrac1p

Складываются производительности, то есть доли работы за единицу времени. Складывать времена исполнителей нельзя.

Шаг 1. Примем всю работу за единицу

Сначала переводим словесное условие на язык величин и фиксируем, какие значения должны быть положительными. Переведём 1 час 50 минут в минуты: 110 минут.

A=1

Шаг 2. Найдём производительности

Каждую зависимую величину выражаем через выбранную неизвестную по основной формуле этого типа задач. За минуту насосы наполняют соответственно 1/11, 1/15 и 1/110 бака.

p_{\text{совм}}=p_1+p_2+\ldots,\qquad t=\dfrac1p

Шаг 3. Составим общую производительность

Подставляем выражения в одно равенство. Оно в точности передаёт указанную в условии сумму, разность времён, баланс вещества или общий путь. Основная формула здесь: Складываются производительности, то есть доли работы за единицу времени. Складывать времена исполнителей нельзя. Общая производительность: 1/11 + 1/15 + 1/110.

\dfrac{1}{11} + \dfrac{1}{15} + \dfrac{1}{110}

Шаг 4. Вычислим неизвестную производительность или время

Преобразуем равенство последовательно: убираем знаменатели только с учётом ОДЗ, приводим подобные слагаемые и находим допустимое значение. Приводим к знаменателю 330: 30/330 + 22/330 + 3/330 = 55/330 = 1/6.

\dfrac{30}{330} + \dfrac{22}{330} + \dfrac{3}{330} = \dfrac{55}{330} = \dfrac{1}{6}

Шаг 5. Проверим смысл результата

Сверяем, какую именно величину просили найти: иногда найденная переменная относится к более медленному участнику, одной стороне пути или массе одного компонента. Значит, три насоса наполнят бак за 6 минут.

\boxed{6\;\text{мин}}

Шаг 6. Запишем ответ

Проверяем знак, смысл и единицы результата. Официально проверенный ответ для этой карточки совпадает с полученным вычислением: 6.

\dfrac{1}{11} + \dfrac{1}{15} + \dfrac{1}{110}

\boxed{6\;\text{мин}}

Если при подстановке нарушается ОДЗ или найдено значение другой величины, нужно вернуться к выбору неизвестной и последнему шагу.

Ответ:

6

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Совместная производительность
Складываются производительности, то есть доли работы за единицу времени. Складывать времена исполнителей нельзя.
$p_{\text{совм}}=p_1+p_2+\ldots,\qquad t=\dfrac1p$
Уравнение именно этой задачи
Все числа из условия подставляются в одну модель; перед решением важно проверить, какая величина обозначена x.
$\dfrac{1}{11} + \dfrac{1}{15} + \dfrac{1}{110}$
Допустимость и единицы
Скорости, времена, массы и производительности должны быть положительными, а ответ записывается в единицах из вопроса.
$x>0,\qquad \text{ответ}=6\;\text{мин}$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Сложить времена вместо производительностей
При совместной работе складываются доли работы за единицу времени.
$p_{\text{совм}}=p_1+p_2+\ldots$
Убрать знаменатели без ОДЗ
Перед умножением дробного уравнения на выражения с x нужно исключить нулевые и отрицательные значения скоростей или производительностей.
$x>0,\qquad \text{знаменатели}\ne0$
Ответить не на тот вопрос
После решения уравнения ещё раз читаем вопрос и проверяем, относится ли x к искомому объекту.
$\dfrac{1}{11} + \dfrac{1}{15} + \dfrac{1}{110}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{6\;\text{мин}}$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Модель соответствует условию
Проверяем знаки, суммы и разности, а также то, что остановка или задержка учтена ровно один раз.
$\dfrac{1}{11} + \dfrac{1}{15} + \dfrac{1}{110}$
Корень допустим
Отбрасываем значения, при которых скорость, время, масса или производительность неположительны либо знаменатель равен нулю.
$x>0,\qquad D_{\text{знаменателя}}\ne0$
Число и единицы проверены
Итог должен отвечать вопросу задачи и быть записан в требуемых единицах.
$\boxed{6\;\text{мин}}$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №11Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена