Задание 19 из 62Текстовые задачи

Линия №11 · Повышенный уровень

Первая труба пропускает на 6 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 112 литров она заполняет на 6 минут быстрее, чем первая труба?

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 1E4FB8

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 14

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Это конкретная текстовая задача FIPI 1E4FB8. Пусть вторая труба пропускает x л/мин, тогда первая — x − 6 л/мин. Далее каждое число подставляется только в ту величину, которую оно описывает.

Ключевая идея:

выразить время каждой трубы как V/q и составить уравнение по разности времён заполнения; основная модель этой карточки записана формулой ниже

\dfrac{112}{x - 6} - 112/x = 6

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно эту задачу: введём неизвестную, выразим через неё остальные величины, подставим данные в формулу, решим уравнение и проверим, что ответ соответствует вопросу.

Математическая модель:

t=\dfrac{V}{q}

\dfrac{112}{x - 6} - 112/x = 6

q>0,\qquad t=\dfrac Vq

Нужно найти: величину, указанную в вопросе условия; числовой результат 14 л/мин.

План решения: выразить время каждой трубы как V/q и составить уравнение по разности времён заполнения; основная модель этой карточки записана формулой ниже.

Объём, пропускная способность и время

t=\dfrac{V}{q}

Время заполнения равно объёму резервуара, делённому на расход воды. Труба с большей пропускной способностью заполняет резервуар быстрее.

Шаг 1. Введём неизвестную и ограничения

Сначала переводим словесное условие на язык величин и фиксируем, какие значения должны быть положительными. Пусть вторая труба пропускает x л/мин, тогда первая — x − 6 л/мин.

q>0,\qquad t=\dfrac Vq

Шаг 2. Выразим связанные величины

Каждую зависимую величину выражаем через выбранную неизвестную по основной формуле этого типа задач. Времена заполнения равны 112/x и 112/(x − 6) минут.

t=\dfrac{V}{q}

Шаг 3. Составим математическую модель

Подставляем выражения в одно равенство. Оно в точности передаёт указанную в условии сумму, разность времён, баланс вещества или общий путь. Основная формула здесь: Время заполнения равно объёму резервуара, делённому на расход воды. Труба с большей пропускной способностью заполняет резервуар быстрее. Первая работает на 6 минут дольше: 112/(x − 6) − 112/x = 6.

\dfrac{112}{x - 6} - 112/x = 6

Шаг 4. Решим уравнение или выполним вычисления

Преобразуем равенство последовательно: убираем знаменатели только с учётом ОДЗ, приводим подобные слагаемые и находим допустимое значение. После упрощения x(x − 6) = 112; положительный допустимый корень x = 14.

x(x - 6) = 112

Шаг 5. Ответим именно на вопрос задачи

Сверяем, какую именно величину просили найти: иногда найденная переменная относится к более медленному участнику, одной стороне пути или массе одного компонента. Вторая труба пропускает 14, первая — 8 л/мин. Ответ: 14.

\boxed{14\;\text{л/мин}}

Шаг 6. Проверим и запишем ответ

Проверяем знак, смысл и единицы результата. Официально проверенный ответ для этой карточки совпадает с полученным вычислением: 14.

\dfrac{112}{x - 6} - 112/x = 6

\boxed{14\;\text{л/мин}}

Если при подстановке нарушается ОДЗ или найдено значение другой величины, нужно вернуться к выбору неизвестной и последнему шагу.

Ответ:

14

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Объём, пропускная способность и время
Время заполнения равно объёму резервуара, делённому на расход воды. Труба с большей пропускной способностью заполняет резервуар быстрее.
$t=\dfrac{V}{q}$
Уравнение именно этой задачи
Все числа из условия подставляются в одну модель; перед решением важно проверить, какая величина обозначена x.
$\dfrac{112}{x - 6} - 112/x = 6$
Допустимость и единицы
Скорости, времена, массы и производительности должны быть положительными, а ответ записывается в единицах из вопроса.
$x>0,\qquad \text{ответ}=14\;\text{л/мин}$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Перепутать более быструю и более медленную трубу
Большая пропускная способность означает меньшее время заполнения.
$q_2>q_1\Longrightarrow\dfrac V{q_2}<\dfrac V{q_1}$
Убрать знаменатели без ОДЗ
Перед умножением дробного уравнения на выражения с x нужно исключить нулевые и отрицательные значения скоростей или производительностей.
$x>0,\qquad \text{знаменатели}\ne0$
Ответить не на тот вопрос
После решения уравнения ещё раз читаем вопрос и проверяем, относится ли x к искомому объекту.
$\dfrac{112}{x - 6} - 112/x = 6\quad\Longrightarrow\quad \boxed{14\;\text{л/мин}}$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Модель соответствует условию
Проверяем знаки, суммы и разности, а также то, что остановка или задержка учтена ровно один раз.
$\dfrac{112}{x - 6} - 112/x = 6$
Корень допустим
Отбрасываем значения, при которых скорость, время, масса или производительность неположительны либо знаменатель равен нулю.
$x>0,\qquad D_{\text{знаменателя}}\ne0$
Число и единицы проверены
Итог должен отвечать вопросу задачи и быть записан в требуемых единицах.
$\boxed{14\;\text{л/мин}}$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №11Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена