Задание 2 из 62Текстовые задачи

Линия №11 · Повышенный уровень

Имеется два сплава. Первый сплав содержит 45% меди, второй — 20% меди. Масса первого сплава больше массы второго на 30 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 40% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: FD5B44

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 50

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Это конкретная текстовая задача FIPI FD5B44. Пусть меньшая масса равна x кг. Тогда массы первого и второго сплавов равны соответственно x + 30 и x кг. Далее каждое число подставляется только в ту величину, которую оно описывает.

Ключевая идея:

ввести массы или концентрации неизвестными, записать сохранение массы вещества и решить полученное уравнение; основная модель этой карточки записана формулой ниже

0{,}45 \cdot (x + 30) + 0{,}2 \cdot (x)

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно эту задачу: введём неизвестную, выразим через неё остальные величины, подставим данные в формулу, решим уравнение и проверим, что ответ соответствует вопросу.

Математическая модель:

m_1c_1+m_2c_2=(m_1+m_2)c

0{,}45 \cdot (x + 30) + 0{,}2 \cdot (x)

m_1>0,\qquad m_2>0

Нужно найти: величину, указанную в вопросе условия; числовой результат 50 кг.

План решения: ввести массы или концентрации неизвестными, записать сохранение массы вещества и решить полученное уравнение; основная модель этой карточки записана формулой ниже.

Баланс вещества в смеси

m_1c_1+m_2c_2=(m_1+m_2)c

При смешивании масса вещества сохраняется: количество меди или кислоты до смешивания равно её количеству после смешивания. Проценты перед подстановкой переводятся в доли.

Шаг 1. Введём неизвестную и ограничения

Сначала переводим словесное условие на язык величин и фиксируем, какие значения должны быть положительными. Пусть меньшая масса равна x кг. Тогда массы первого и второго сплавов равны соответственно x + 30 и x кг.

m_1>0,\qquad m_2>0

Шаг 2. Выразим связанные величины

Каждую зависимую величину выражаем через выбранную неизвестную по основной формуле этого типа задач. Масса меди до смешивания: 0.45 · (x + 30) + 0.2 · (x).

0{,}45 \cdot (x + 30) + 0{,}2 \cdot (x)

Шаг 3. Составим математическую модель

Подставляем выражения в одно равенство. Оно в точности передаёт указанную в условии сумму, разность времён, баланс вещества или общий путь. Основная формула здесь: При смешивании масса вещества сохраняется: количество меди или кислоты до смешивания равно её количеству после смешивания. Проценты перед подстановкой переводятся в доли. После смешивания масса раствора равна 2x + 30, а меди в нём 0.4 · (2x + 30).

0{,}45 \cdot (x + 30) + 0{,}2 \cdot (x)

Шаг 4. Решим уравнение или выполним вычисления

Преобразуем равенство последовательно: убираем знаменатели только с учётом ОДЗ, приводим подобные слагаемые и находим допустимое значение. Приравнивая массы меди, получаем x = 10 кг; поэтому массы исходных сплавов равны 40 и 10 кг.

x = 10

Шаг 5. Ответим именно на вопрос задачи

Сверяем, какую именно величину просили найти: иногда найденная переменная относится к более медленному участнику, одной стороне пути или массе одного компонента. Масса третьего сплава: 40 + 10 = 50 кг.

40 + 10 = 50

Шаг 6. Проверим и запишем ответ

Проверяем знак, смысл и единицы результата. Официально проверенный ответ для этой карточки совпадает с полученным вычислением: 50.

0{,}45 \cdot (x + 30) + 0{,}2 \cdot (x)

\boxed{50\;\text{кг}}

Если при подстановке нарушается ОДЗ или найдено значение другой величины, нужно вернуться к выбору неизвестной и последнему шагу.

Ответ:

50

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Баланс вещества в смеси
При смешивании масса вещества сохраняется: количество меди или кислоты до смешивания равно её количеству после смешивания. Проценты перед подстановкой переводятся в доли.
$m_1c_1+m_2c_2=(m_1+m_2)c$
Уравнение именно этой задачи
Все числа из условия подставляются в одну модель; перед решением важно проверить, какая величина обозначена x.
$0{,}45 \cdot (x + 30) + 0{,}2 \cdot (x)$
Допустимость и единицы
Скорости, времена, массы и производительности должны быть положительными, а ответ записывается в единицах из вопроса.
$x>0,\qquad \text{ответ}=50\;\text{кг}$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Складывать проценты без учёта масс
Сохраняется масса вещества, поэтому концентрации умножаются на соответствующие массы.
$m_1c_1+m_2c_2=(m_1+m_2)c$
Убрать знаменатели без ОДЗ
Перед умножением дробного уравнения на выражения с x нужно исключить нулевые и отрицательные значения скоростей или производительностей.
$x>0,\qquad \text{знаменатели}\ne0$
Ответить не на тот вопрос
После решения уравнения ещё раз читаем вопрос и проверяем, относится ли x к искомому объекту.
$0{,}45 \cdot (x + 30) + 0{,}2 \cdot (x)\quad\Longrightarrow\quad \boxed{50\;\text{кг}}$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Модель соответствует условию
Проверяем знаки, суммы и разности, а также то, что остановка или задержка учтена ровно один раз.
$0{,}45 \cdot (x + 30) + 0{,}2 \cdot (x)$
Корень допустим
Отбрасываем значения, при которых скорость, время, масса или производительность неположительны либо знаменатель равен нулю.
$x>0,\qquad D_{\text{знаменателя}}\ne0$
Число и единицы проверены
Итог должен отвечать вопросу задачи и быть записан в требуемых единицах.
$\boxed{50\;\text{кг}}$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №11Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена