Задание 7 из 62Текстовые задачи

Линия №11 · Повышенный уровень

Первые 120 км автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 200 км — со скоростью 100 км/ч, а затем 160 км — со скоростью 120 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 5504F2

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 90

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Это конкретная текстовая задача FIPI 5504F2. Средняя скорость — это весь путь, делённый на всё время. Общий путь: 120 + 200 + 160 = 480 км. Далее каждое число подставляется только в ту величину, которую оно описывает.

Ключевая идея:

найти путь и время на каждом участке, сложить их и применить формулу средней скорости; основная модель этой карточки записана формулой ниже

120 + 200 + 160 = 480

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно эту задачу: введём неизвестную, выразим через неё остальные величины, подставим данные в формулу, решим уравнение и проверим, что ответ соответствует вопросу.

Математическая модель:

v_{\text{ср}}=\dfrac{S_{\text{общ}}}{t_{\text{общ}}}

120 + 200 + 160 = 480

S_{\text{общ}}=\sum S_i,\qquad t_{\text{общ}}=\sum t_i

Нужно найти: величину, указанную в вопросе условия; числовой результат 90 км/ч.

План решения: найти путь и время на каждом участке, сложить их и применить формулу средней скорости; основная модель этой карточки записана формулой ниже.

Средняя скорость

v_{\text{ср}}=\dfrac{S_{\text{общ}}}{t_{\text{общ}}}

Средняя скорость — не обычное среднее скоростей. Нужно сложить весь пройденный путь и разделить его на всё время движения.

Шаг 1. Запишем формулу средней скорости

Сначала переводим словесное условие на язык величин и фиксируем, какие значения должны быть положительными. Средняя скорость — это весь путь, делённый на всё время. Общий путь: 120 + 200 + 160 = 480 км.

120 + 200 + 160 = 480

Шаг 2. Найдём общий путь

Каждую зависимую величину выражаем через выбранную неизвестную по основной формуле этого типа задач. Время на первом участке: 120 : 60 = 2 ч.

120\div60 = 2

Шаг 3. Найдём время движения

Подставляем выражения в одно равенство. Оно в точности передаёт указанную в условии сумму, разность времён, баланс вещества или общий путь. Основная формула здесь: Средняя скорость — не обычное среднее скоростей. Нужно сложить весь пройденный путь и разделить его на всё время движения. Времена на остальных участках: 200 : 100 = 2 ч и 160 : 120 = 4/3 ч.

120 + 200 + 160 = 480

Шаг 4. Вычислим среднюю скорость

Преобразуем равенство последовательно: убираем знаменатели только с учётом ОДЗ, приводим подобные слагаемые и находим допустимое значение. Суммарное время: 2 + 2 + 4/3 = 16/3 ч.

2 + 2 + \dfrac{4}{3} = \dfrac{16}{3}

Шаг 5. Проверим единицы

Сверяем, какую именно величину просили найти: иногда найденная переменная относится к более медленному участнику, одной стороне пути или массе одного компонента. Средняя скорость: 480 : (16/3) = 480 · 3/16 = 90 км/ч.

480\div(\dfrac{16}{3}) = 480 \cdot \dfrac{3}{16} = 90

Шаг 6. Запишем ответ

Проверяем знак, смысл и единицы результата. Официально проверенный ответ для этой карточки совпадает с полученным вычислением: 90.

120 + 200 + 160 = 480

\boxed{90\;\text{км/ч}}

Если при подстановке нарушается ОДЗ или найдено значение другой величины, нужно вернуться к выбору неизвестной и последнему шагу.

Ответ:

90

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Средняя скорость
Средняя скорость — не обычное среднее скоростей. Нужно сложить весь пройденный путь и разделить его на всё время движения.
$v_{\text{ср}}=\dfrac{S_{\text{общ}}}{t_{\text{общ}}}$
Уравнение именно этой задачи
Все числа из условия подставляются в одну модель; перед решением важно проверить, какая величина обозначена x.
$120 + 200 + 160 = 480$
Допустимость и единицы
Скорости, времена, массы и производительности должны быть положительными, а ответ записывается в единицах из вопроса.
$x>0,\qquad \text{ответ}=90\;\text{км/ч}$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Усреднить скорости без учёта времени
При разных длительностях или длинах участков обычное среднее скоростей неверно; делим весь путь на всё время.
$v_{\text{ср}}=\dfrac{S_{\text{общ}}}{t_{\text{общ}}}$
Убрать знаменатели без ОДЗ
Перед умножением дробного уравнения на выражения с x нужно исключить нулевые и отрицательные значения скоростей или производительностей.
$x>0,\qquad \text{знаменатели}\ne0$
Ответить не на тот вопрос
После решения уравнения ещё раз читаем вопрос и проверяем, относится ли x к искомому объекту.
$120 + 200 + 160 = 480\quad\Longrightarrow\quad \boxed{90\;\text{км/ч}}$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Модель соответствует условию
Проверяем знаки, суммы и разности, а также то, что остановка или задержка учтена ровно один раз.
$120 + 200 + 160 = 480$
Корень допустим
Отбрасываем значения, при которых скорость, время, масса или производительность неположительны либо знаменатель равен нулю.
$x>0,\qquad D_{\text{знаменателя}}\ne0$
Число и единицы проверены
Итог должен отвечать вопросу задачи и быть записан в требуемых единицах.
$\boxed{90\;\text{км/ч}}$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №11Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена