Задание 36 из 62Текстовые задачи

Линия №11 · Повышенный уровень

Расстояние между пристанями $A$ и $B$ равно 192 км. Из $A$ в $B$ по течению реки отправился плот, а через 3 часа вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт $B$ , тотчас повернула обратно и возвратилась в $A$ . К этому времени плот проплыл 92 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 4BA055

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 20

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Это конкретная текстовая задача FIPI 4BA055. Плот движется со скоростью течения 4 км/ч, поэтому до возвращения яхты прошло 92 : 4 = 23 часа. Далее каждое число подставляется только в ту величину, которую оно описывает.

Ключевая идея:

правильно записать скорости по и против течения, выразить времена участков и связать их условием задачи; основная модель этой карточки записана формулой ниже

4 = 23

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно эту задачу: введём неизвестную, выразим через неё остальные величины, подставим данные в формулу, решим уравнение и проверим, что ответ соответствует вопросу.

Математическая модель:

v_{\text{по}}=v_0+u,\qquad v_{\text{против}}=v_0-u,\qquad t=\dfrac{S}{v}

4 = 23

v_0>u\ge0

Нужно найти: величину, указанную в вопросе условия; числовой результат 20 км/ч.

План решения: правильно записать скорости по и против течения, выразить времена участков и связать их условием задачи; основная модель этой карточки записана формулой ниже.

Движение по течению и против течения

v_{\text{по}}=v_0+u,\qquad v_{\text{против}}=v_0-u,\qquad t=\dfrac{S}{v}

К собственной скорости судна по течению прибавляется скорость течения, а против течения она вычитается. Время каждого участка равно S/v.

Шаг 1. Введём неизвестную и ограничения

Сначала переводим словесное условие на язык величин и фиксируем, какие значения должны быть положительными. Плот движется со скоростью течения 4 км/ч, поэтому до возвращения яхты прошло 92 : 4 = 23 часа.

4 = 23

Шаг 2. Выразим связанные величины

Каждую зависимую величину выражаем через выбранную неизвестную по основной формуле этого типа задач. Яхта вышла на 3 часа позже, значит, её путь туда и обратно занял 23 − 3 = 20 часов.

v_{\text{по}}=v_0+u,\qquad v_{\text{против}}=v_0-u,\qquad t=\dfrac{S}{v}

Шаг 3. Составим математическую модель

Подставляем выражения в одно равенство. Оно в точности передаёт указанную в условии сумму, разность времён, баланс вещества или общий путь. Основная формула здесь: К собственной скорости судна по течению прибавляется скорость течения, а против течения она вычитается. Время каждого участка равно S/v. Пусть собственная скорость яхты равна x км/ч. Тогда скорости по и против течения: x + 4 и x − 4.

4 = 23

Шаг 4. Решим уравнение или выполним вычисления

Преобразуем равенство последовательно: убираем знаменатели только с учётом ОДЗ, приводим подобные слагаемые и находим допустимое значение. Составим уравнение: 192/(x + 4) + 192/(x − 4) = 20. После упрощения: 5x² − 96x − 80 = 0.

\boxed{20\;\text{км/ч}}

Шаг 5. Ответим именно на вопрос задачи

Сверяем, какую именно величину просили найти: иногда найденная переменная относится к более медленному участнику, одной стороне пути или массе одного компонента. Допустимый положительный корень x = 20. Собственная скорость яхты равна 20 км/ч.

\boxed{20\;\text{км/ч}}

Шаг 6. Проверим и запишем ответ

Проверяем знак, смысл и единицы результата. Официально проверенный ответ для этой карточки совпадает с полученным вычислением: 20.

4 = 23

\boxed{20\;\text{км/ч}}

Если при подстановке нарушается ОДЗ или найдено значение другой величины, нужно вернуться к выбору неизвестной и последнему шагу.

Ответ:

20

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Движение по течению и против течения
К собственной скорости судна по течению прибавляется скорость течения, а против течения она вычитается. Время каждого участка равно S/v.
$v_{\text{по}}=v_0+u,\qquad v_{\text{против}}=v_0-u,\qquad t=\dfrac{S}{v}$
Уравнение именно этой задачи
Все числа из условия подставляются в одну модель; перед решением важно проверить, какая величина обозначена x.
$4 = 23$
Допустимость и единицы
Скорости, времена, массы и производительности должны быть положительными, а ответ записывается в единицах из вопроса.
$x>0,\qquad \text{ответ}=20\;\text{км/ч}$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Перепутать знаки скоростей
По течению скорость увеличивается, против течения — уменьшается.
$v_{\text{по}}=v_0+u,\qquad v_{\text{против}}=v_0-u$
Убрать знаменатели без ОДЗ
Перед умножением дробного уравнения на выражения с x нужно исключить нулевые и отрицательные значения скоростей или производительностей.
$x>0,\qquad \text{знаменатели}\ne0$
Ответить не на тот вопрос
После решения уравнения ещё раз читаем вопрос и проверяем, относится ли x к искомому объекту.
$4 = 23\quad\Longrightarrow\quad \boxed{20\;\text{км/ч}}$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Модель соответствует условию
Проверяем знаки, суммы и разности, а также то, что остановка или задержка учтена ровно один раз.
$4 = 23$
Корень допустим
Отбрасываем значения, при которых скорость, время, масса или производительность неположительны либо знаменатель равен нулю.
$x>0,\qquad D_{\text{знаменателя}}\ne0$
Число и единицы проверены
Итог должен отвечать вопросу задачи и быть записан в требуемых единицах.
$\boxed{20\;\text{км/ч}}$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №11Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена