Задание 47 из 62Текстовые задачи

Линия №11 · Повышенный уровень

Имеется два сосуда. Первый содержит 40 кг, а второй — 25 кг растворов кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 30 % кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 36 % кислоты. Сколько процентов кислоты содержится в первом сосуде?

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: ADEDE3

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 10

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Это конкретная текстовая задача FIPI ADEDE3. Пусть концентрации растворов равны x% и y%. Далее каждое число подставляется только в ту величину, которую оно описывает.

Ключевая идея:

ввести массы или концентрации неизвестными, записать сохранение массы вещества и решить полученное уравнение; основная модель этой карточки записана формулой ниже

0{,}4x + 0{,}25y = 19{,}5

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно эту задачу: введём неизвестную, выразим через неё остальные величины, подставим данные в формулу, решим уравнение и проверим, что ответ соответствует вопросу.

Математическая модель:

m_1c_1+m_2c_2=(m_1+m_2)c

0{,}4x + 0{,}25y = 19{,}5

m_1>0,\qquad m_2>0

Нужно найти: величину, указанную в вопросе условия; числовой результат 10%.

План решения: ввести массы или концентрации неизвестными, записать сохранение массы вещества и решить полученное уравнение; основная модель этой карточки записана формулой ниже.

Баланс вещества в смеси

m_1c_1+m_2c_2=(m_1+m_2)c

При смешивании масса вещества сохраняется: количество меди или кислоты до смешивания равно её количеству после смешивания. Проценты перед подстановкой переводятся в доли.

Шаг 1. Введём неизвестную и ограничения

Сначала переводим словесное условие на язык величин и фиксируем, какие значения должны быть положительными. Пусть концентрации растворов равны x% и y%.

m_1>0,\qquad m_2>0

Шаг 2. Выразим связанные величины

Каждую зависимую величину выражаем через выбранную неизвестную по основной формуле этого типа задач. При смешивании равных масс средняя концентрация 36%, поэтому (x + y)/2 = 36, то есть x + y = 72.

m_1c_1+m_2c_2=(m_1+m_2)c

Шаг 3. Составим математическую модель

Подставляем выражения в одно равенство. Оно в точности передаёт указанную в условии сумму, разность времён, баланс вещества или общий путь. Основная формула здесь: При смешивании масса вещества сохраняется: количество меди или кислоты до смешивания равно её количеству после смешивания. Проценты перед подстановкой переводятся в доли. В 40 кг первого и 25 кг второго раствора кислоты всего 30% от 65 кг: 0,4x + 0,25y = 19,5.

0{,}4x + 0{,}25y = 19{,}5

Шаг 4. Решим уравнение или выполним вычисления

Преобразуем равенство последовательно: убираем знаменатели только с учётом ОДЗ, приводим подобные слагаемые и находим допустимое значение. Подставим y = 72 − x: 0,4x + 0,25(72 − x) = 19,5, откуда 0,15x = 1,5.

\boxed{10\%}

Шаг 5. Ответим именно на вопрос задачи

Сверяем, какую именно величину просили найти: иногда найденная переменная относится к более медленному участнику, одной стороне пути или массе одного компонента. x = 10. В первом сосуде содержится 10% кислоты.

\boxed{10\%}

Шаг 6. Проверим и запишем ответ

Проверяем знак, смысл и единицы результата. Официально проверенный ответ для этой карточки совпадает с полученным вычислением: 10.

0{,}4x + 0{,}25y = 19{,}5

\boxed{10\%}

Если при подстановке нарушается ОДЗ или найдено значение другой величины, нужно вернуться к выбору неизвестной и последнему шагу.

Ответ:

10

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Баланс вещества в смеси
При смешивании масса вещества сохраняется: количество меди или кислоты до смешивания равно её количеству после смешивания. Проценты перед подстановкой переводятся в доли.
$m_1c_1+m_2c_2=(m_1+m_2)c$
Уравнение именно этой задачи
Все числа из условия подставляются в одну модель; перед решением важно проверить, какая величина обозначена x.
$0{,}4x + 0{,}25y = 19{,}5$
Допустимость и единицы
Скорости, времена, массы и производительности должны быть положительными, а ответ записывается в единицах из вопроса.
$x>0,\qquad \text{ответ}=10\%$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Складывать проценты без учёта масс
Сохраняется масса вещества, поэтому концентрации умножаются на соответствующие массы.
$m_1c_1+m_2c_2=(m_1+m_2)c$
Убрать знаменатели без ОДЗ
Перед умножением дробного уравнения на выражения с x нужно исключить нулевые и отрицательные значения скоростей или производительностей.
$x>0,\qquad \text{знаменатели}\ne0$
Ответить не на тот вопрос
После решения уравнения ещё раз читаем вопрос и проверяем, относится ли x к искомому объекту.
$0{,}4x + 0{,}25y = 19{,}5\quad\Longrightarrow\quad \boxed{10\%}$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Модель соответствует условию
Проверяем знаки, суммы и разности, а также то, что остановка или задержка учтена ровно один раз.
$0{,}4x + 0{,}25y = 19{,}5$
Корень допустим
Отбрасываем значения, при которых скорость, время, масса или производительность неположительны либо знаменатель равен нулю.
$x>0,\qquad D_{\text{знаменателя}}\ne0$
Число и единицы проверены
Итог должен отвечать вопросу задачи и быть записан в требуемых единицах.
$\boxed{10\%}$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №11Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена