Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 14 · ФИПИ 7E8F9653 из 110

Общее количество мест в амфитеатре

В амфитеатре 13 рядов. В первом ряду 18 мест, а в каждом следующем
на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Введите число; отрицательный ответ — со знаком минус. Запятая и точка равнозначны. Кнопка ± меняет знак.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 7E8F96.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 390.

Что нужно найти

Найти величину, о которой спрашивается в условии, учитывая все изменения по порядку.

Короткий ход решения

Рассмотрим изменения по шагам и проверим результат другим способом. Ответ: 390 мест.

Длинные формулы и схемы на узком экране можно прокрутить по горизонтали.

В первом ряду
18 мест
Прибавка в следующем ряду
2
Нужный ряд / число рядов
13

1. Выбираем модель изменения

При одинаковой прибавке или уменьшении на число получаем арифметическую прогрессию. При умножении или делении на одно и то же число — геометрическую.

Сначала определим начальное значение, величину изменения и количество переходов. Затем найдём требуемое значение или сумму.

2. Определяем, сколько раз прибавляется разность

В первом ряду уже 18 мест. Для второго прибавляем 2 один раз, для третьего — два раза. Для ряда 13 прибавлений будет 12.

1313−1-1=12=12

Поэтому в формуле n-го члена стоит n − 1, а не n.

3. Находим число мест в последнем нужном ряду

Используем формулу члена арифметической прогрессии. Сначала умножаем число переходов на прибавку, затем прибавляем первое значение.

ana_n=a1=a_1+(n−1)d+(n-1)d
1212⋅2\cdot2=24=24
1818+24+24=42=42

В ряду 13 находится 42 мест.

4. Суммируем места во всех рядах

Нужно общее количество, поэтому одного последнего ряда недостаточно. В арифметической прогрессии среднее первого и последнего значений равно среднему всех членов. Умножаем его на число рядов.

SnS_n=(a1+an)n2=\frac{(a_1+a_n)n}{2}
(18+42)⋅132\frac{(18+42)\cdot13}{2}=60⋅132=\frac{60\cdot13}{2}=390=390

Деление на 2 относится ко всему произведению.

5. Проверяем прямым сложением

Выпишем количество мест в каждом ряду и сложим. Все соседние числа должны отличаться на одну и ту же величину.

1818+20+20+22+22+24+24+26+26+28+28+30+30+32+32+34+34+36+36+38+38+40+40+42+42=390=390

Сумма совпала с результатом формулы.

Проверяем последовательность по шагам

Прокрутите схему вбок ↔

Изменение величины по шагам
Каждая строка соответствует одному шагу. Последняя строка выделена цветом. Порядок строк позволяет проверить количество изменений.
Открыть схему крупнее ↗

6. Записываем ответ

Получили 390 мест.

390390

В поле ответа вводим только число: 390.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Искомое значение390 мест

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Выясните, величина меняется на одно и то же число или в одно и то же число раз.
  2. Определите, что считается первым членом, а что — начальным моментом.
  3. Посчитайте число переходов; найдите нужный член или сумму.
  4. Проверьте последовательность по шагам и смысл результата.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Арифметическая прогрессия: каждый следующий член получается прибавлением постоянной разности d.
  • Формула n-го члена: an=a1+(n−1)da_n=a_1+(n-1)d. Между первым и n-м членом n − 1 переходов.
  • Сумма первых n членов арифметической прогрессии: Sn=(a1+an)n2S_n=\dfrac{(a_1+a_n)n}{2}.
  • Изменение «в несколько раз» означает умножение или деление, а не прибавление или вычитание.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не путайте номер члена и число изменений: от первого до n-го члена n − 1 переходов.
  • Если дано значение в момент времени 0, за n полных периодов произойдёт n изменений.
  • Для общего пути или общего числа мест нужна сумма всех членов.
  • Сравнивайте величины в одинаковых единицах и не округляйте перед проверкой границы.
Все задания №14 (110)