ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 14 · ФИПИ 1C239193 из 110

Путь поезда за первые секунды

Поезд начал движение от станции. За первую секунду состав сдвинулся на 0,5 м, а за каждую следующую секунду он проходил на 0,2 м больше,
чем за предыдущую. Сколько метров состав прошёл за первые 8 секунд движения?

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 1C2391.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 9,6.

Что нужно найти

Найти величину, о которой спрашивается в условии, учитывая все изменения по порядку.

Короткий ход решения

Рассмотрим изменения по шагам и проверим результат другим способом. Ответ: 9,6 м.

Длинные формулы и схемы на узком экране можно прокрутить по горизонтали.

За первую секунду: 0,5 м
Изменение за каждую следующую: +0,2 м
Сколько секунд учитываем: 8

1. Выбираем модель изменения

При одинаковой прибавке или уменьшении на число получаем арифметическую прогрессию. При умножении или делении на одно и то же число — геометрическую.

Сначала определим начальное значение, величину изменения и количество переходов. Затем найдём требуемое значение или сумму.

2. Отличаем путь за секунду от всего пути

За первую секунду пройдено 0,5 м. За каждую следующую секунду путь увеличивается на 0,2 м.

Нужно сложить расстояния за отдельные секунды. Умножать только первое расстояние на время нельзя: путь за секунду меняется.

3. Находим расстояние за каждую секунду

Последовательно прибавляем одно и то же число.

0{,}5

+0{,}2

=0{,}7

0{,}7

+0{,}2

=0{,}9

0{,}9

+0{,}2

=1{,}1

1{,}1

+0{,}2

=1{,}3

1{,}3

+0{,}2

=1{,}5

1{,}5

+0{,}2

=1{,}7

1{,}7

+0{,}2

=1{,}9

В последнюю учитываемую секунду пройдено 1,9 м.

4. Складываем весь пройденный путь

Суммируем расстояния за все нужные секунды.

0{,}5

+0{,}7

+0{,}9

+1{,}1

+1{,}3

+1{,}5

+1{,}7

+1{,}9

=9{,}6

Всего пройдено 9,6 м. Это сумма, а не последний член последовательности.

5. Проверяем формулой суммы арифметической прогрессии

Соседние расстояния отличаются на одну и ту же величину. Поэтому сумму можно проверить через первое и последнее расстояния и число членов.

S_n

=\frac{(a_1+a_n)n}{2}

\frac{(0{,}5+1{,}9)\cdot8}{2}

=9{,}6

Оба способа дали одинаковый результат.

Изменение величины по шагам — Каждая строка соответствует одному шагу. Последняя строка выделена цветом. Порядок строк позволяет проверить количество изменений.

6. Записываем ответ

Получили 9,6 м.

9{,}6

В поле ответа вводим только число: 9,6.

Итоги решения и проверки
Что проверяем	Результат
Искомое значение	9,6 м

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Выясните, величина меняется на одно и то же число или в одно и то же число раз.
Определите, что считается первым членом, а что — начальным моментом.
Посчитайте число переходов; найдите нужный член или сумму.
Проверьте последовательность по шагам и смысл результата.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

Арифметическая прогрессия: каждый следующий член получается прибавлением постоянной разности d.
Формула n-го члена: $a_n=a_1+(n-1)d$ . Между первым и n-м членом n − 1 переходов.
Сумма первых n членов арифметической прогрессии: $S_n=\dfrac{(a_1+a_n)n}{2}$ .
Изменение «в несколько раз» означает умножение или деление, а не прибавление или вычитание.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Не путайте номер члена и число изменений: от первого до n-го члена n − 1 переходов.
Если дано значение в момент времени 0, за n полных периодов произойдёт n изменений.
Для общего пути или общего числа мест нужна сумма всех членов.
Сравнивайте величины в одинаковых единицах и не округляйте перед проверкой границы.

Все задания №14 (110)