ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 14 · ФИПИ EF268C69 из 110

Общее количество мест в амфитеатре

В амфитеатре 12 рядов. В первом ряду 20 мест, а в каждом следующем
на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Условие: открытый банк ФИПИ, задание EF268C.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 372.

Что нужно найти

Найти величину, о которой спрашивается в условии, учитывая все изменения по порядку.

Короткий ход решения

Рассмотрим изменения по шагам и проверим результат другим способом. Ответ: 372 мест.

Длинные формулы и схемы на узком экране можно прокрутить по горизонтали.

В первом ряду: 20 мест
Прибавка в следующем ряду: 2
Нужный ряд / число рядов: 12

1. Выбираем модель изменения

При одинаковой прибавке или уменьшении на число получаем арифметическую прогрессию. При умножении или делении на одно и то же число — геометрическую.

Сначала определим начальное значение, величину изменения и количество переходов. Затем найдём требуемое значение или сумму.

2. Определяем, сколько раз прибавляется разность

В первом ряду уже 20 мест. Для второго прибавляем 2 один раз, для третьего — два раза. Для ряда 12 прибавлений будет 11.

12

-1

=11

Поэтому в формуле n-го члена стоит n − 1, а не n.

3. Находим число мест в последнем нужном ряду

Используем формулу члена арифметической прогрессии. Сначала умножаем число переходов на прибавку, затем прибавляем первое значение.

a_n

=a_1

+(n-1)d

11

\cdot2

=22

20

+22

=42

В ряду 12 находится 42 мест.

4. Суммируем места во всех рядах

Нужно общее количество, поэтому одного последнего ряда недостаточно. В арифметической прогрессии среднее первого и последнего значений равно среднему всех членов. Умножаем его на число рядов.

S_n

=\frac{(a_1+a_n)n}{2}

\frac{(20+42)\cdot12}{2}

=\frac{62\cdot12}{2}

=372

Деление на 2 относится ко всему произведению.

5. Проверяем прямым сложением

Выпишем количество мест в каждом ряду и сложим. Все соседние числа должны отличаться на одну и ту же величину.

20

+22

+24

+26

+28

+30

+32

+34

+36

+38

+40

+42

=372

Сумма совпала с результатом формулы.

Изменение величины по шагам — Каждая строка соответствует одному шагу. Последняя строка выделена цветом. Порядок строк позволяет проверить количество изменений.

6. Записываем ответ

Получили 372 мест.

372

В поле ответа вводим только число: 372.

Итоги решения и проверки
Что проверяем	Результат
Искомое значение	372 мест

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Выясните, величина меняется на одно и то же число или в одно и то же число раз.
Определите, что считается первым членом, а что — начальным моментом.
Посчитайте число переходов; найдите нужный член или сумму.
Проверьте последовательность по шагам и смысл результата.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

Арифметическая прогрессия: каждый следующий член получается прибавлением постоянной разности d.
Формула n-го члена: $a_n=a_1+(n-1)d$ . Между первым и n-м членом n − 1 переходов.
Сумма первых n членов арифметической прогрессии: $S_n=\dfrac{(a_1+a_n)n}{2}$ .
Изменение «в несколько раз» означает умножение или деление, а не прибавление или вычитание.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Не путайте номер члена и число изменений: от первого до n-го члена n − 1 переходов.
Если дано значение в момент времени 0, за n полных периодов произойдёт n изменений.
Для общего пути или общего числа мест нужна сумма всех членов.
Сравнивайте величины в одинаковых единицах и не округляйте перед проверкой границы.

Все задания №14 (110)