ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 14 · ФИПИ 8EFD8370 из 110

Первый прыжок ниже заданной высоты

Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 2,4 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту
в два раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик
в первый раз не достигнет высоты 5 см?

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 8EFD83.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 7.

Что нужно найти

Найти номер первого прыжка ниже указанной границы.

Короткий ход решения

Рассмотрим изменения по шагам и проверим результат другим способом. Ответ: 7.

Длинные формулы и схемы на узком экране можно прокрутить по горизонтали.

Первый прыжок: 2,4 м
Каждая следующая высота: В 2 раза меньше
Нужная граница: 5 см

1. Выбираем модель изменения

При одинаковой прибавке или уменьшении на число получаем арифметическую прогрессию. При умножении или делении на одно и то же число — геометрическую.

Сначала определим начальное значение, величину изменения и количество переходов. Затем найдём требуемое значение или сумму.

2. Переводим высоту первого прыжка в сантиметры

Вопрос задаёт границу в сантиметрах. В одном метре 100 сантиметров, поэтому первую высоту умножаем на 100.

2{,}4

\cdot100

=240

Теперь все высоты сравниваем в одинаковых единицах.

3. Находим высоты последовательных прыжков

Первый прыжок уже дан: 240 см. Для каждого следующего делим предыдущую высоту на 2. Номер прыжка увеличивается на 1 после каждого деления.

\frac{240}{2}

=120

\frac{120}{2}

=60

\frac{60}{2}

=30

\frac{30}{2}

=15

\frac{15}{2}

=7{,}5

\frac{7{,}5}{2}

=3{,}75

Дробные высоты сохраняем точно. Округление около границы могло бы изменить выбор первого подходящего прыжка.

4. Проверяем два соседних прыжка

На прыжке 6 высота ещё не меньше границы. На прыжке 7 она впервые становится строго меньше.

7{,}5\ge5

3{,}75<5

«Не достигнет» означает строго меньше. Равенство высоте границы ещё не подходит.

5. Сравниваем дробную высоту без округления

Чтобы сравнить положительную дробь с целым числом, умножаем обе части сравнения на положительный знаменатель.

\frac{15}{4}<5

15<5

\cdot4

15<20

Сравнение верно, поэтому этот прыжок действительно первый подходящий.

Изменение величины по шагам — Каждая строка соответствует одному шагу. Последняя строка выделена цветом. Порядок строк позволяет проверить количество изменений.

6. Записываем ответ

Получили 7.

7

В поле ответа вводим только число: 7.

Итоги решения и проверки
Что проверяем	Результат
Искомое значение	7

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Выясните, величина меняется на одно и то же число или в одно и то же число раз.
Определите, что считается первым членом, а что — начальным моментом.
Посчитайте число переходов; найдите нужный член или сумму.
Проверьте последовательность по шагам и смысл результата.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

Арифметическая прогрессия: каждый следующий член получается прибавлением постоянной разности d.
Формула n-го члена: $a_n=a_1+(n-1)d$ . Между первым и n-м членом n − 1 переходов.
Сумма первых n членов арифметической прогрессии: $S_n=\dfrac{(a_1+a_n)n}{2}$ .
Изменение «в несколько раз» означает умножение или деление, а не прибавление или вычитание.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

В ответе нужен номер прыжка, а не его высота. Первый данный прыжок имеет номер 1.
Не путайте номер члена и число изменений: от первого до n-го члена n − 1 переходов.
Если дано значение в момент времени 0, за n полных периодов произойдёт n изменений.
Для общего пути или общего числа мест нужна сумма всех членов.
Сравнивайте величины в одинаковых единицах и не округляйте перед проверкой границы.

Все задания №14 (110)