ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 14 · ФИПИ 231CD684 из 110

Путь поезда за первые секунды

Поезд начал движение от станции. За первую секунду состав сдвинулся на
1 м, а за каждую следующую секунду он проходил на 0,5 м больше,
чем за предыдущую. Сколько метров состав прошёл за первые 10 секунд движения?

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 231CD6.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 32,5.

Что нужно найти

Найти величину, о которой спрашивается в условии, учитывая все изменения по порядку.

Короткий ход решения

Рассмотрим изменения по шагам и проверим результат другим способом. Ответ: 32,5 м.

Длинные формулы и схемы на узком экране можно прокрутить по горизонтали.

За первую секунду: 1 м
Изменение за каждую следующую: +0,5 м
Сколько секунд учитываем: 10

1. Выбираем модель изменения

При одинаковой прибавке или уменьшении на число получаем арифметическую прогрессию. При умножении или делении на одно и то же число — геометрическую.

Сначала определим начальное значение, величину изменения и количество переходов. Затем найдём требуемое значение или сумму.

2. Отличаем путь за секунду от всего пути

За первую секунду пройдено 1 м. За каждую следующую секунду путь увеличивается на 0,5 м.

Нужно сложить расстояния за отдельные секунды. Умножать только первое расстояние на время нельзя: путь за секунду меняется.

3. Находим расстояние за каждую секунду

Последовательно прибавляем одно и то же число.

1

+0{,}5

=1{,}5

1{,}5

+0{,}5

=2

2

+0{,}5

=2{,}5

2{,}5

+0{,}5

=3

3

+0{,}5

=3{,}5

3{,}5

+0{,}5

=4

4

+0{,}5

=4{,}5

4{,}5

+0{,}5

=5

5

+0{,}5

=5{,}5

В последнюю учитываемую секунду пройдено 5,5 м.

4. Складываем весь пройденный путь

Суммируем расстояния за все нужные секунды.

1

+1{,}5

+2

+2{,}5

+3

+3{,}5

+4

+4{,}5

+5

+5{,}5

=32{,}5

Всего пройдено 32,5 м. Это сумма, а не последний член последовательности.

5. Проверяем формулой суммы арифметической прогрессии

Соседние расстояния отличаются на одну и ту же величину. Поэтому сумму можно проверить через первое и последнее расстояния и число членов.

S_n

=\frac{(a_1+a_n)n}{2}

\frac{(1+5{,}5)\cdot10}{2}

=32{,}5

Оба способа дали одинаковый результат.

Изменение величины по шагам — Каждая строка соответствует одному шагу. Последняя строка выделена цветом. Порядок строк позволяет проверить количество изменений.

6. Записываем ответ

Получили 32,5 м.

32{,}5

В поле ответа вводим только число: 32,5.

Итоги решения и проверки
Что проверяем	Результат
Искомое значение	32,5 м

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Выясните, величина меняется на одно и то же число или в одно и то же число раз.
Определите, что считается первым членом, а что — начальным моментом.
Посчитайте число переходов; найдите нужный член или сумму.
Проверьте последовательность по шагам и смысл результата.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

Арифметическая прогрессия: каждый следующий член получается прибавлением постоянной разности d.
Формула n-го члена: $a_n=a_1+(n-1)d$ . Между первым и n-м членом n − 1 переходов.
Сумма первых n членов арифметической прогрессии: $S_n=\dfrac{(a_1+a_n)n}{2}$ .
Изменение «в несколько раз» означает умножение или деление, а не прибавление или вычитание.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Не путайте номер члена и число изменений: от первого до n-го члена n − 1 переходов.
Если дано значение в момент времени 0, за n полных периодов произойдёт n изменений.
Для общего пути или общего числа мест нужна сумма всех членов.
Сравнивайте величины в одинаковых единицах и не округляйте перед проверкой границы.

Все задания №14 (110)