ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 23 · ФИПИ 1B191C45 из 150

Хорды и расстояние до центра окружности

Отрезки $A B$ и $C D$ являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды $C D$ , если $A B = 40$ , $C D = 42$ , а расстояние от центра окружности до хорды $A B$ равно 21.

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 23, чертёж, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 1B191C.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №23

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Чертёж, необходимые обоснования и полный ответ.

№23.

Пусть O — центр, $OP\perp AB$ , $OQ\perp CD$ . Тогда $AP=\frac{AB}{2}$ и $CQ=\frac{CD}{2}$ .

$Чертёж к заданию ФИПИ 1B191C. Обозначения пояснены в решении.$

По теореме Пифагора:

R^2=21^2+(20)^2=841

OQ=\sqrt{841-(21)^2}=20

Ответ: $20$ .

На экзамене запишите номер задания, выполните чертёж, обоснуйте ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим другой математически верный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найдите OQ и обоснуйте каждый шаг решения.

Идея решения

Хорды и расстояние до центра окружности. Найдите OQ и обоснуйте каждый шаг решения.

Дано: Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD , если AB=40 , CD=42 , а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 21.
Найти: OQ

Проводим перпендикуляры к хордам

Пусть O — центр, OP перпендикулярен AB, OQ перпендикулярен CD. Перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам. Значит, AP = AB / 2, CQ = CD / 2.

AP

=\frac{40}{2}

=20

Хорды и расстояние до центра окружности. Чертёж к задаче ФИПИ 1B191C; обозначения пояснены в решении. — Чертёж к решению

Находим квадрат радиуса

Треугольник OPA прямоугольный. Его гипотенуза OA — радиус R. Квадрат радиуса достаточно найти без извлечения корня.

R^2

=OP^2

+AP^2

=21^2

+(20)^2

=841

Находим расстояние до второй хорды

В прямоугольном треугольнике OQC радиус OC равен R. Из квадрата гипотенузы вычитаем квадрат известного катета.

CQ

=\frac{42}{2}

=21

OQ

=\sqrt{841-(21)^2}

=20

Что проверяет эксперт в задании №23

За задание можно получить до 2 баллов. Нужно привести обоснованное решение и правильный ответ.

2 балла: Ход решения верен, все необходимые шаги обоснованы, получен правильный ответ.
1 балл: Решение в целом правильное, но допущена вычислительная ошибка или отдельные неточности, которые не меняют общий ход решения.
0 баллов: Решение не соответствует указанным критериям. Один ответ без обоснования не заменяет развёрнутое решение.

Критерии приведены по проекту демоверсии ФИПИ 2027 (задание 23) и материалам для экспертов 2026. Решение может быть выполнено другим математически верным способом.

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Получен точный ответ: 20.В решении названы и обоснованы использованные геометрические свойства.Все вспомогательные точки обозначены на чертеже; найден именно тот отрезок или угол, который требуется в условии.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены вычисления, геометрические обоснования и соответствие чертежей условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Проводим перпендикуляры к хордам
Находим квадрат радиуса
Находим расстояние до второй хорды

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

Пусть O — центр, OP перпендикулярен AB, OQ перпендикулярен CD. Перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам. Значит, AP = AB / 2, CQ = CD / 2.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

В прямоугольный треугольник входит половина хорды, а не вся хорда.
Расстояние от точки до прямой измеряется по перпендикуляру.

Все задания №23 (150)