Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 23 · ФИПИ 9C2D65127 из 150

Углы ромба по диагонали и расстоянию до стороны

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 16, а одна из диагоналей ромба равна 64. Найдите углы ромба.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 23, чертёж, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 9C2D65.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №23

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Чертёж, необходимые обоснования и полный ответ.

№23.

Пусть AC — данная диагональ, O — точка пересечения диагоналей, OH⊥ABOH\perp AB.

AO=642=32AO=\frac{64}{2}=32
Чертёж к заданию ФИПИ 9C2D65. Обозначения пояснены в решении.

В прямоугольном треугольнике AOH:

sin⁡∠OAH=1632=12\sin\angle OAH=\frac{16}{32}=\frac{1}{2}
∠OAH=30∘\angle OAH=30^\circ

Диагональ AC делит углы A и C пополам. Соседние углы ромба в сумме дают 180°.

∠A=∠C=60∘\angle A=\angle C=60^\circ
∠B=∠D=120∘\angle B=\angle D=120^\circ

Ответ: 60∘; 120∘; 60∘; 120∘60^\circ;\ 120^\circ;\ 60^\circ;\ 120^\circ.

На экзамене запишите номер задания, выполните чертёж, обоснуйте ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим другой математически верный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найдите углы ромба.

Идея решения

Углы ромба по диагонали и расстоянию до стороны. Найдите углы ромба.

Дано
Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 16, а одна из диагоналей ромба равна 64. Найдите углы ромба.
Найти
углы ромба

Вводим обозначения

Назовём данную диагональ AC, точку пересечения диагоналей — O. Опустим из O перпендикуляр OH на AB. Диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам.

AOAO=AC2=\frac{AC}{2}=32=32
OHOH=16=16

Чертёж и обозначения

Углы ромба по диагонали и расстоянию до стороны. Чертёж к задаче ФИПИ 9C2D65; обозначения пояснены в решении.
Обозначения на чертеже
  • Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 16, а одна из диагоналей ромба равна 64. Найдите углы ромба.
  • Все дополнительные точки и отрезки введены в решении. Чертёж показывает взаимное расположение; измерять длины по изображению не нужно.
Чертёж к решению
Открыть схему крупнее ↗

Находим половину угла ромба

В прямоугольном треугольнике AOH отношение противолежащего катета к гипотенузе равно синусу угла OAH. Этот угол острый.

sin⁡∠OAH\sin\angle OAH=OHAO=\frac{OH}{AO}=1632=\frac{16}{32}=12=\frac{1}{2}
∠OAH\angle OAH=30∘=30^\circ

Восстанавливаем все углы

Диагональ ромба делит углы при своих концах пополам. Противоположные углы равны, сумма соседних — 180°.

∠A\angle A=∠C=\angle C=2=2⋅30∘\cdot30^\circ=60∘=60^\circ
∠B\angle B=∠D=\angle D=180∘=180^\circ−60∘-60^\circ=120∘=120^\circ

Что проверяет эксперт в задании №23

За задание можно получить до 2 баллов. Нужно привести обоснованное решение и правильный ответ.

2 балла
Ход решения верен, все необходимые шаги обоснованы, получен правильный ответ.
1 балл
Решение в целом правильное, но допущена вычислительная ошибка или отдельные неточности, которые не меняют общий ход решения.
0 баллов
Решение не соответствует указанным критериям. Один ответ без обоснования не заменяет развёрнутое решение.

Критерии приведены по проекту демоверсии ФИПИ 2027 (задание 23) и материалам для экспертов 2026. Решение может быть выполнено другим математически верным способом.

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены вычисления, геометрические обоснования и соответствие чертежей условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Вводим обозначения
  2. Находим половину угла ромба
  3. Восстанавливаем все углы
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Назовём данную диагональ AC, точку пересечения диагоналей — O. Опустим из O перпендикуляр OH на AB. Диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Диагональ задаёт половину угла ромба; найденные 30° нужно удвоить.
  • Укажите все четыре угла или две пары равных углов.
Все задания №23 (150)