ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 23 · ФИПИ 631164129 из 150

Касательная и центр окружности на стороне

Окружность с центром на стороне $A C$ треугольника $A B C$ проходит через вершину $C$ и касается прямой $A B$ в точке $B$ . Найдите диаметр окружности, если $A B = 3$ , $A C = 5$ .

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 23, чертёж, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 631164.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №23

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Чертёж, необходимые обоснования и полный ответ.

№23.

Пусть O — центр, R — радиус. $OB\perp AB$ , $AO=AC-R$ .

$Чертёж к заданию ФИПИ 631164. Обозначения пояснены в решении.$

По теореме Пифагора:

(5-R)^2=3^2+R^2

10R=16

d=2R=\frac{16}{5}

Ответ: $\frac{16}{5}$ .

На экзамене запишите номер задания, выполните чертёж, обоснуйте ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим другой математически верный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найдите d и обоснуйте каждый шаг решения.

Идея решения

Касательная и центр окружности на стороне. Найдите d и обоснуйте каждый шаг решения.

Дано: Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B . Найдите диаметр окружности, если AB=3 , AC=5 .
Найти: d

Соединяем центр с точкой касания

Обозначим центр окружности через O, радиус — R. Радиус OB перпендикулярен касательной AB. Точки A, O, C лежат на одной прямой, причём O находится между A и C. Поэтому AC = AO + R.

OB

=OC

=R

OB\perp AB

Касательная и центр окружности на стороне. Чертёж к задаче ФИПИ 631164; обозначения пояснены в решении. — Чертёж к решению

Составляем уравнение для радиуса

Поскольку AO = AC − R, теорема Пифагора для треугольника AOB даёт уравнение. После раскрытия скобок слагаемые R² сокращаются.

(5-R)^2

=3^2

+R^2

25

-10R

=9

R

=\frac{16}{10}

=\frac{8}{5}

Переходим от радиуса к диаметру

В условии требуется диаметр, поэтому радиус нужно удвоить.

d

=2R

=\frac{16}{5}

Что проверяет эксперт в задании №23

За задание можно получить до 2 баллов. Нужно привести обоснованное решение и правильный ответ.

2 балла: Ход решения верен, все необходимые шаги обоснованы, получен правильный ответ.
1 балл: Решение в целом правильное, но допущена вычислительная ошибка или отдельные неточности, которые не меняют общий ход решения.
0 баллов: Решение не соответствует указанным критериям. Один ответ без обоснования не заменяет развёрнутое решение.

Критерии приведены по проекту демоверсии ФИПИ 2027 (задание 23) и материалам для экспертов 2026. Решение может быть выполнено другим математически верным способом.

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Получен точный ответ: 16/5.В решении названы и обоснованы использованные геометрические свойства.Все вспомогательные точки обозначены на чертеже; найден именно тот отрезок или угол, который требуется в условии.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены вычисления, геометрические обоснования и соответствие чертежей условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Соединяем центр с точкой касания
Составляем уравнение для радиуса
Переходим от радиуса к диаметру

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

Обозначим центр окружности через O, радиус — R. Радиус OB перпендикулярен касательной AB. Точки A, O, C лежат на одной прямой, причём O находится между A и C. Поэтому AC = AO + R.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Центр O лежит внутри стороны AC, поэтому AC = AO + OC.
Не путайте радиус и диаметр: d = 2R.

Все задания №23 (150)