ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 23 · ФИПИ 225F494 из 150

Окружность на высоте прямоугольного треугольника

Точка $H$ является основанием высоты $B H$ , проведённой из вершины прямого угла $B$ прямоугольного треугольника $A B C$ . Окружность
с диаметром $B H$ пересекает стороны $A B$ и $C B$ в точках $P$ и $K$ соответственно. Найдите $B H$ , если $P K = 14$ .

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 23, чертёж, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 225F49.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №23

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Чертёж, необходимые обоснования и полный ответ.

№23.

Углы BPH и BKH опираются на диаметр BH, значит, они прямые. Угол PBK также прямой.

$Чертёж к заданию ФИПИ 225F49. Обозначения пояснены в решении.$

Следовательно, BPHK — прямоугольник. Его диагонали равны:

BH=PK=14

Ответ: $14$ .

На экзамене запишите номер задания, выполните чертёж, обоснуйте ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим другой математически верный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найдите BH и обоснуйте каждый шаг решения.

Идея решения

Окружность на высоте прямоугольного треугольника. Найдите BH и обоснуйте каждый шаг решения.

Дано: Точка H является основанием высоты BH , проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC . Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите BH , если PK=14 .
Найти: BH

Используем диаметр окружности

Вписанные углы BPH и BKH опираются на диаметр BH. Каждый из них равен 90°.

\angle BPH

=\angle BKH

=90^\circ

Окружность на высоте прямоугольного треугольника. Чертёж к задаче ФИПИ 225F49; обозначения пояснены в решении. — Чертёж к решению

Узнаём прямоугольник

Угол PBK тоже прямой: P лежит на BA, K — на BC, а угол ABC прямой. У четырёхугольника BPHK три прямых угла; четвёртый также прямой. Значит, это прямоугольник.

Его диагонали соединяют противоположные вершины: это BH и PK.

Приравниваем диагонали

Диагонали прямоугольника равны. Поэтому искомая диагональ равна данной.

BH

=PK

BH

=14

Что проверяет эксперт в задании №23

За задание можно получить до 2 баллов. Нужно привести обоснованное решение и правильный ответ.

2 балла: Ход решения верен, все необходимые шаги обоснованы, получен правильный ответ.
1 балл: Решение в целом правильное, но допущена вычислительная ошибка или отдельные неточности, которые не меняют общий ход решения.
0 баллов: Решение не соответствует указанным критериям. Один ответ без обоснования не заменяет развёрнутое решение.

Критерии приведены по проекту демоверсии ФИПИ 2027 (задание 23) и материалам для экспертов 2026. Решение может быть выполнено другим математически верным способом.

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Получен точный ответ: 14.В решении названы и обоснованы использованные геометрические свойства.Все вспомогательные точки обозначены на чертеже; найден именно тот отрезок или угол, который требуется в условии.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены вычисления, геометрические обоснования и соответствие чертежей условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Используем диаметр окружности
Узнаём прямоугольник
Приравниваем диагонали

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

Вписанные углы BPH и BKH опираются на диаметр BH. Каждый из них равен 90°.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Отрезки BH и PK — диагонали прямоугольника, а не его стороны.
Обязательно обоснуйте прямые углы через диаметр окружности.

Все задания №23 (150)