ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 23 · ФИПИ A3965672 из 150

Окружность и подобие треугольников

Окружность пересекает стороны $A B$ и $A C$ треугольника $A B C$ в точках $K$
и $P$ соответственно и проходит через вершины $B$ и $C$ . Найдите длину отрезка $K P$ , если $A P = 30$ , а сторона $B C$ в 1,2 раза меньше стороны $A B$ .

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 23, чертёж, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание A39656.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №23

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Чертёж, необходимые обоснования и полный ответ.

№23.

Углы AKP и ACB равны как внешний и противоположный внутренний углы вписанного четырёхугольника KBCP. Угол A общий.

$Чертёж к заданию ФИПИ A39656. Обозначения пояснены в решении.$

Поэтому $\triangle AKP\sim\triangle ACB$ .

KP=AP\cdot\frac{BC}{AB}=\frac{30}{\frac{6}{5}}=25

Ответ: $25$ .

На экзамене запишите номер задания, выполните чертёж, обоснуйте ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим другой математически верный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найдите KP и обоснуйте каждый шаг решения.

Идея решения

Окружность и подобие треугольников. Найдите KP и обоснуйте каждый шаг решения.

Дано: Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка KP , если AP=30 , а сторона BC в 1,2 раза меньше стороны AB .
Найти: KP

Находим равные углы

Точки K, B, C, P лежат на одной окружности. Противоположные углы BKP и BCP в вписанном четырёхугольнике KBCP в сумме дают 180°. Лучи KA и KB противоположны, поэтому угол AKP равен углу BCP, то есть углу ACB.

\angle AKP

=\angle ACB

Окружность и подобие треугольников. Чертёж к задаче ФИПИ A39656; обозначения пояснены в решении. — Чертёж к решению

Доказываем подобие

Угол KAP совпадает с углом CAB. По двум углам треугольники AKP и ACB подобны. Порядок вершин важен: K соответствует C, а P — B.

\triangle AKP\sim\triangle ACB

\frac{KP}{BC}

=\frac{AK}{AC}

=\frac{AP}{AB}

Подставляем известное отношение

Переписываем отношение сторон из условия и используем соответствующую пару отрезков.

\frac{BC}{AB}

=\frac{1}{\frac{6}{5}}

KP

=AP

\cdot\frac{BC}{AB}

=\frac{30}{\frac{6}{5}}

=25

Что проверяет эксперт в задании №23

За задание можно получить до 2 баллов. Нужно привести обоснованное решение и правильный ответ.

2 балла: Ход решения верен, все необходимые шаги обоснованы, получен правильный ответ.
1 балл: Решение в целом правильное, но допущена вычислительная ошибка или отдельные неточности, которые не меняют общий ход решения.
0 баллов: Решение не соответствует указанным критериям. Один ответ без обоснования не заменяет развёрнутое решение.

Критерии приведены по проекту демоверсии ФИПИ 2027 (задание 23) и материалам для экспертов 2026. Решение может быть выполнено другим математически верным способом.

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Получен точный ответ: 25.В решении названы и обоснованы использованные геометрические свойства.Все вспомогательные точки обозначены на чертеже; найден именно тот отрезок или угол, который требуется в условии.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены вычисления, геометрические обоснования и соответствие чертежей условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Находим равные углы
Доказываем подобие
Подставляем известное отношение

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

Точки K, B, C, P лежат на одной окружности. Противоположные углы BKP и BCP в вписанном четырёхугольнике KBCP в сумме дают 180°. Лучи KA и KB противоположны, поэтому угол AKP равен углу BCP, то есть углу ACB.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Подобны AKP и ACB, а не AKP и ABC: порядок соответствующих вершин изменён.
Из условия не следует, что KP параллелен BC.

Все задания №23 (150)