Задание 15 из 44Электрические колебанияЯщенко

Линия №17

Ященко 2027 · вариант 7 · задание 17: Напряжение на катушке: L = 0,045 Гн, R = 20 Ом

При подключении источника переменного тока к цепи, состоящей из конденсатора, резистора и катушки индуктивности, амплитуда напряжения на катушке (в вольтах) подчиняется закону

U_{L} (ω) = \frac{UL ω}{R ^{2} + ( ω L - \frac{1}{ω C} ) ^{2}},

где $U$ — амплитуда напряжения на источнике тока, $L$ — индуктивность катушки, $ω$ — частота переменного тока (в с $^{- 1}$ ), $R$ — сопротивление резистора, $C$ — ёмкость конденсатора. При какой частоте $ω$ амплитуда напряжения на катушке будет наибольшей, если $U = 180$ В, $L = 0, 045$ Гн, $C = 2, 5 \cdot 1 0^{- 5}$ Ф и $R = 20$ Ом?

Источник: Ященко

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Делим числитель и знаменатель на положительную частоту. Замена x = 1/ω² превращает подкоренное выражение в квадратный трёхчлен, минимум которого даёт максимум напряжения.

Ключевая идея: Нужно минимизировать L² + (R² − 2L/C)x + x²/C² при x = 1/ω² > 0.

Пошаговый разбор

Понятное решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Делаем замену переменной

Рассматриваем $ω > 0$ . Разделим числитель и знаменатель на $ω$ и положим $x = \frac{1}{ω ^{2}} > 0$ :

U_{L} = \frac{UL}{R ^{2} x + ( L - \frac{x}{C} ) ^{2}} .

Числитель $UL$ положителен и постоянен. Поэтому напряжение максимально при минимуме подкоренного выражения.

Находим минимум квадратного трёхчлена

q (x) = \frac{x ^{2}}{C ^{2}} + (R^{2} - \frac{2 L}{C}) x + L^{2} .

Коэффициент при $x^{2}$ положителен. Вершина параболы имеет абсциссу

x_{0} = L C - \frac{R ^{2} C ^{2}}{2} .

Подставляем данные из условия:

x_{0} = 0, 045 \cdot 2, 5 \cdot 1 0^{- 5} - \frac{2 0 ^{2} \cdot ( 2 , 5 \cdot 1 0 ^{- 5} ) ^{2}}{2} = \frac{1}{1000000} > 0.

Доказываем максимум и возвращаемся к частоте

При любом $x > 0$ исходное выражение $q (x) = R^{2} x + (L - x / C)^{2}$ положительно. Его минимум в допустимой точке $x_{0}$ даёт глобальный максимум напряжения. Возвращаемся к частоте:

ω = \frac{1}{x _{0}} = \frac{1000000}{1} = 1000 с^{- 1} .

Ответ $1000$ с⁻¹

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Делить числитель и знаменатель можно на одну и ту же положительную величину.
Вершина параболы ax² + bx + c при a > 0 даёт минимум в точке −b/(2a).
После замены x = 1/ω² частота равна 1/√x.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Искать минимум знаменателя исходной дроби без учёта переменной в числителе.
Потерять квадрат ёмкости C при вычислении x₀.
Записать в ответ x₀ вместо частоты ω.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1
Все данные и обозначения перенесены из условия.
2
Область допустимых значений учтена.
3
Доказано, что найденное значение даёт требуемый максимум или минимум.
4
Ответ содержит искомую величину и правильные единицы измерения.

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №17Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена