Ященко 2027 · вариант 12 · задание 17: Кинетическая энергия молекул гелия при 80 К

Распределение кинетической энергии молекул гелия при тепловом движении имеет функцию плотности

f (ε) = 2 \frac{ε}{π} \cdot (\frac{1}{k T})^{\frac{3}{2}} \cdot e^{- \frac{ε}{k T}},

где $k = 1, 38 \cdot 1 0^{- 23}$ Дж/К — постоянная Больцмана, $ε$ — кинетическая энергия молекулы в джоулях, $T$ — температура газа в кельвинах. Найдите значение кинетической энергии $ε$ , при котором функция плотности $f (ε)$ принимает наибольшее значение, если $T = 80$ К?

Источник: Ященко

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Не зависящие от энергии положительные множители можно вынести. Остаётся функция √ε·e^(−ε/(kT)); её производная определяет точку максимума ε = kT/2.

Ключевая идея: Наиболее вероятная энергия равна kT/2; её не следует путать со средней энергией 3kT/2.

Пошаговый разбор

Понятное решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Выделяем переменную часть плотности

При $ε \geq 0$ положительные постоянные множители не влияют на точку максимума. Рассмотрим

g (ε) = ε e^{- ε / (k T)} .

При нулевой энергии функция равна нулю, а при положительной — положительна.

Находим максимум функции

При $ε > 0$ производная равна

g^{'} (ε) = \frac{e ^{- ε / (k T)}}{2 ε} (1 - \frac{2 ε}{k T}) .

Первый множитель положителен. Производная положительна при $ε < k T /2$ и отрицательна при $ε > k T /2$ . Следовательно, при $ε = k T /2$ достигается глобальный максимум.

Подставляем температуру

ε = \frac{k T}{2} = \frac{1 , 38 \cdot 1 0 ^{- 23} \cdot 80}{2} = 5, 52 \cdot 1 0^{- 22} Дж .

Получено значение энергии, при котором плотность наибольшая; ответ совпадает с таблицей сборника.

Ответ $5, 52 \cdot 1 0^{- 22}$ Дж

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Плотность распределения может иметь максимум в точке, не совпадающей со средним значением величины.
Производная √x при x > 0 равна 1/(2√x).
В научной записи числа нужно учитывать степень десяти и единицы измерения.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка