Задание 38 из 44Механические колебанияЯщенко

Линия №17

Ященко 2027 · вариант 30 · задание 17: Качка лайнера при T = 16 с

Круизный лайнер стоит в океане бортом к волне. Под действием волн он испытывает вынужденные поперечные колебания. Зависимость амплитуды этих колебаний (в градусах) от периода волны $τ$ (в секундах) выражается формулой

A (τ) = k θ_{0} \frac{τ ^{2}}{( T ^{2} - τ ^{2} ) ^{2} + n τ ^{2} T ^{2}} .

Коэффициент $k$ определяется отношением ширины лайнера к длине волны, $θ_{0}$ — угол наибольшего волнового склона, $T$ — период свободных поперечных колебаний лайнера на тихой воде, $n$ — числовой коэффициент $(0 < n < 0, 5)$ . При каком периоде волны $τ$ амплитуда вынужденных колебаний лайнера будет наибольшей, если $T = 16$ с?

Источник: Ященко

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Делим числитель и знаменатель на квадрат периода волны. После замены y = T²/τ² под корнем получается квадратный трёхчлен. Его минимум найдём выделением полного квадрата.

Ключевая идея: При положительном постоянном числителе амплитуда максимальна, когда положительный знаменатель минимален.

Пошаговый разбор

Понятное решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Преобразуем формулу амплитуды

Рассматриваем $τ > 0$ . Введём $y = \frac{T ^{2}}{τ ^{2}} > 0$ . Деление знаменателя на $τ^{2}$ означает деление выражения под корнем на $τ^{4}$ :

A = \frac{k θ _{0}}{( y - 1 ) ^{2} + n y} .

Находим минимум знаменателя

Выделим полный квадрат:

(y - 1)^{2} + n y = (y - 1 + \frac{n}{2})^{2} + n - \frac{n ^{2}}{4} .

При $0 < n < 0, 5$ постоянная $n - \frac{n ^{2}}{4}$ положительна, а точка $y = 1 - \frac{n}{2}$ принадлежит области $y > 0$ . Квадрат обращается в ноль именно в этой точке, поэтому знаменатель там наименьший, а амплитуда наибольшая.

Возвращаемся к периоду волны

\frac{T ^{2}}{τ ^{2}} = 1 - \frac{n}{2}, τ = T \frac{2}{2 - n} .

Период положителен. Подставляем $T = 16$ с:

τ = 16 \frac{2}{2 - n} с .

Числовое значение коэффициента n в условии не задано, поэтому ответ остаётся формулой с этим параметром.

Ответ $16 \frac{2}{2 - n}$ с

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Деление квадратного корня на положительное число требует деления подкоренного выражения на квадрат этого числа.
Квадрат любого действительного числа неотрицателен.
После замены необходимо вернуться к исходной величине и проверить её область значений.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Принимать T за искомый период волны: T — период свободных колебаний.
Подставлять произвольное числовое значение параметра n.
Разделить подкоренное выражение на τ $^{2}$ вместо τ $^{4}$ .

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1
Все данные и обозначения перенесены из условия.
2
Область допустимых значений учтена.
3
Доказано, что найденное значение даёт требуемый максимум или минимум.
4
Ответ содержит искомую величину и правильные единицы измерения.

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №17Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена