Ященко 2027 · вариант 27 · задание 17: Распределение Максвелла: молекула водорода, T = 300 К

Распределение скорости молекулы водорода при тепловом движении имеет функцию плотности

f (v) = 4 π v^{2} (\frac{M}{2 π RT})^{\frac{3}{2}} \cdot e^{- \frac{M v ^{2}}{2 RT}}

(распределение Максвелла). В этой формуле $v$ — скорость молекулы в м/с, $R$ — универсальная газовая постоянная, $M = 0, 002$ кг/моль — молярная масса водорода, $T$ — температура газа в кельвинах. При каком значении скорости $v$ функция плотности принимает наибольшее значение, если $T = 300$ К?

Источник: Ященко

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Постоянный положительный множитель не влияет на положение максимума. Исследуем функцию v²e^(−av²), где a = M/(2RT), с помощью производной.

Ключевая идея: Плотность максимальна при v² = 2RT/M; берём положительный корень, поскольку v — скорость.

Пошаговый разбор

Понятное решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Выделяем зависящую от скорости часть

Пусть $a = \frac{M}{2 RT} > 0$ . Положительный постоянный множитель $4 π (\frac{M}{2 π RT})^{3/2}$ не влияет на точку максимума. Достаточно исследовать

g (v) = v^{2} e^{- a v^{2}}, v \geq 0.

Находим критическую точку и определяем её тип

g^{'} (v) = 2 v e^{- a v^{2}} (1 - a v^{2}) .

При $v > 0$ первые два множителя положительны. Производная положительна при $v < \frac{1}{a}$ и отрицательна при $v > \frac{1}{a}$ . Следовательно, функция сначала возрастает, а затем убывает; найденная точка — глобальный максимум. При $v = 0$ плотность равна нулю.

Подставляем массу и температуру

v = \frac{2 RT}{M} = \frac{2 \cdot R \cdot 300}{0 , 002} = 100 30 R м / с .

Универсальная газовая постоянная R остаётся в точном ответе, как в таблице ответов сборника.

Ответ $100 30 R$ м/с

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Положительный постоянный множитель не меняет точку максимума функции.
Производную произведения вычисляют по правилу (fg)′ = f′g + fg′.
Производная сложной показательной функции: (e^u)′ = u′e^u.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Искать максимум самого множителя e $^{- a v^{2}}$ , забыв v $^{2}$ .
Перепутать молярную массу газа или единицы кг/моль.
Указать два знака корня, хотя скорость неотрицательна.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1
Все данные и обозначения перенесены из условия.
2
Область допустимых значений учтена.
3
Доказано, что найденное значение даёт требуемый максимум или минимум.
4
Ответ содержит искомую величину и правильные единицы измерения.

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №17

Все задания линии №17 →

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №17Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена