Задание 44 из 44Оптимизация движенияЯщенко

Линия №17

Ященко 2027 · вариант 36 · задание 17: Переправа через реку шириной 48 м

На противоположных берегах прямого участка реки друг напротив друга на расстоянии $h$ расположены пристани А и Б (см. рисунок). Путник переправляется на лодке от пристани А на противоположный берег. Зная, что собственная скорость лодки $v$ меньше скорости течения реки $u$ (лодку будет сносить течением), путник направляет лодку под углом $α$ к направлению течения.

В итоге лодку сносит течением и путник прибывает к противоположному берегу реки в точку В, находящуюся от пристани Б на расстоянии $l$ , которое выражается формулой

l = h \cdot \frac{u + v cos α}{v sin α} .

Найдите наименьшее возможное расстояние $l$ , если $h = 48$ м, $u = 2, 5$ м/с, $v = 2, 4$ м/с.

Переправа через реку: пристани А и Б, точка прибытия В, ширина h, снос l и угол α к направлению течения — Рисунок к условию: переправа через реку

Источник: Ященко

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Исследуем расстояние сноса как функцию угла. Производная меняет знак с минуса на плюс при cos α = −v/u. Подставим этот угол в исходную формулу.

Ключевая идея: Минимальный снос равен h√(u² − v²)/v при 0 < α < π и u > v.

Пошаговый разбор

Понятное решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Определяем допустимые углы

Для переправы поперечная составляющая скорости должна быть положительной: $v sin α > 0$ , поэтому $0 < α < π$ . По условию $u > v > 0$ . Запишем функцию

l (α) = \frac{h}{v} \cdot \frac{u + v cos α}{sin α} .

Исследуем расстояние с помощью производной

l^{'} (α) = - \frac{h}{v} \cdot \frac{v + u cos α}{sin ^{2} α} .

Критическая точка определяется равенством $cos α = - \frac{v}{u}$ . Она существует и единственна, так как $0 < v / u < 1$ . Когда угол увеличивается от 0 до π, косинус убывает: до критической точки производная отрицательна, а после неё положительна. Значит, это глобальный минимум.

Вычисляем минимальный снос

В найденной точке $sin α = \frac{u ^{2} - v ^{2}}{u}$ . Подстановка в формулу даёт

l_{m i n} = \frac{h u ^{2} - v ^{2}}{v} .

l_{m i n} = \frac{48 2 , 5 ^{2} - 2 , 4 ^{2}}{2 , 4} = \frac{48 0 , 49}{2 , 4} = 14 м .

Ответ $14$ м

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Для переправы поперечная скорость v sin α должна быть положительной.
Производные синуса и косинуса: (sin α)′ = cos α, (cos α)′ = −sin α.
Переход производной с минуса на плюс означает минимум функции.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Направлять лодку строго поперёк течения, не исследуя другие углы.
Подставлять положительный косинус v/u вместо отрицательного −v/u.
Путать ширину реки h с расстоянием сноса l.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1
Все данные и обозначения перенесены из условия.
2
Область допустимых значений учтена.
3
Доказано, что найденное значение даёт требуемый максимум или минимум.
4
Ответ содержит искомую величину и правильные единицы измерения.

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №17Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена