Ященко 2027 · вариант 31 · задание 17: Максимальная мощность зарядной станции: ε = 30 В, r = 3 Ом

К блоку солнечных панелей с электродвижущей силой $ε = 30$ В и внутренним сопротивлением $r = 3$ Ом подключена зарядная станция. Сила тока в цепи при этом подключении определяется законом Ома:

I = \frac{ε}{r + R},

где $R$ — сопротивление зарядной станции (в омах).

Тепловая мощность в ваттах, выделяемая на зарядной станции, по закону Джоуля — Ленца равна $P = I^{2} R$ . Найдите наибольшую возможную тепловую мощность $P$ , которую может выделять зарядная станция.

Источник: Ященко

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Подставляем закон Ома в формулу мощности. Неравенство (r + R)² ≥ 4rR даёт верхнюю границу мощности и условие её достижения R = r.

Ключевая идея: Максимальная мощность передаётся нагрузке при равенстве внешнего и внутреннего сопротивлений.

Пошаговый разбор

Понятное решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Выражаем мощность через сопротивление

По закону Ома $I = \frac{ε}{r + R}$ . Подставим это выражение в $P = I^{2} R$ :

P (R) = \frac{ε ^{2} R}{( r + R ) ^{2}} .

При $R = 0$ мощность равна нулю, а при $R > 0$ положительна.

Оцениваем мощность сверху

Из $(R - r)^{2} \geq 0$ следует $(R + r)^{2} \geq 4 r R$ . Поэтому

P (R) \leq \frac{ε ^{2} R}{4 r R} = \frac{ε ^{2}}{4 r} .

Равенство достигается при $R = r$ . Следовательно, это точка глобального максимума.

Подставляем данные и отвечаем на вопрос

Для данной станции $R = r = 3$ Ом. Максимальная мощность равна

P_{m a x} = \frac{3 0 ^{2}}{4 \cdot 3} = 75 Вт .

В задаче требуется наибольшая мощность, поэтому ответ — $75$ Вт.

Ответ $75$ Вт

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Закон Ома для полной цепи: I = ε/(r + R).
Тепловая мощность нагрузки равна I²R.
Неравенство (R + r)² ≥ 4rR следует из неотрицательности (R − r)².

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Путать максимальную мощность и сопротивление, при котором она достигается.
Использовать только внешнее сопротивление в законе Ома.
Указывать максимум без доказательства достижимости верхней границы.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1
Все данные и обозначения перенесены из условия.
2
Область допустимых значений учтена.
3
Доказано, что найденное значение даёт требуемый максимум или минимум.
4
Ответ содержит искомую величину и правильные единицы измерения.

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №17

Все задания линии №17 →

Электрические цепиЯщенко · вариант 3 · Сопротивление зарядной станции: ε = 60 В, r = 0,8 ОмЗадание 20271703 Электрические цепиЯщенко · вариант 4 · Сопротивление зарядной станции: ε = 60 В, r = 2 ОмЗадание 20271704 Электрические цепиЯщенко · вариант 13 · Максимальная мощность зарядной станции: ε = 60 В, r = 1,6 ОмЗадание 20271713 Электрические цепиЯщенко · вариант 14 · Максимальная мощность зарядной станции: ε = 60 В, r = 1,2 ОмЗадание 20271714 Электрические цепиЯщенко · вариант 23 · Сопротивление зарядной станции: ε = 30 В, r = 1,5 ОмЗадание 20271723 Электрические цепиЯщенко · вариант 24 · Сопротивление зарядной станции: ε = 30 В, r = 2 ОмЗадание 20271724

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №17Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена