Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!ВойтиЧерез VK ID

Меню

ЕГЭ · ПРОФИЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

Задание 18: 75 заданий ФИПИ

Окружности и касательные · Четырёхугольники и многоугольники · Треугольники. Все задания снабжены ссылкой на открытую карточку ФИПИ. Перенесены все актуальные условия задач по планиметрии линии 18 из открытого банка ФИПИ. Для каждого задания опубликовано решение в формате изображения.

Добавить в вариант

1

Окружности и касательныеFIPI ID AA7FF7

Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С₁ и В₁ соответственно. а) Докажите, что треугольник АВ $C$ подобен треугольнику АВ₁С₁. б) Вычислите длину стороны ВС и радиус данной окружности, если $∠$ А= $3 0^{\circ}$ , В₁С₁= $5$ и площадь треугольника АВ₁С₁ в пять раз меньше площади четырёхугольника ВСВ₁С₁.

Решать →

2

Окружности и касательныеFIPI ID B45F0C

Диагонали равнобедренной трапеции $A BC D$ с основаниями $BC$ и $A D$ перпендикулярны. Окружность с диаметром $A D$ пересекает боковую сторону $C D$ в точке $M$ , а окружность с диаметром $C D$ пересекает основание $A D$ в точке $N$ . Отрезки $A M$ и $CN$ пересекаются в точке $P$ . а) Докажите, что в четырёхугольник $A BCP$ можно вписать окружность. б) Найдите радиус этой окружности, если $BC = 7$ , $A D = 23$ .

Решать →

3

Четырёхугольники и многоугольникиFIPI ID 5CBC00

Дана трапеция $A BC D$ с основаниями $A D$ и $BC$ . Диагональ $B D$ разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями $A D$ и $C D$ . а) Докажите, что луч $A C$ $-$ биссектриса угла $B A D$ . б) Найдите $C D$ , если известны диагонали трапеции: $A C = 12$ и $B D = 6, 5$ .

Решать →

4

Окружности и касательныеFIPI ID 2EBDBF

Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С₁ и В₁ соответственно. а) Докажите, что треугольник АВ $C$ подобен треугольнику АВ₁С₁. б) Вычислите длину стороны ВС и радиус данной окружности, если $∠$ А= $45^{\circ}$ , В₁С₁= $6$ и площадь треугольника АВ₁С₁ в восемь раз меньше площади четырёхугольника ВС $B$ ₁ $C$ ₁.

Решать →

5

Окружности и касательныеFIPI ID D57CB9

Диагонали равнобедренной трапеции $A BC D$ с основаниями $BC$ и $A D$ перпендикулярны. Окружность с диаметром $A D$ пересекает боковую сторону $C D$ в точке $M$ , а окружность с диаметром $C D$ пересекает основание $A D$ в точке $N$ . Отрезки $A M$ и $CN$ пересекаются в точке $P$ . а) Докажите, что в четырёхугольник $A BCP$ можно вписать окружность. б) Найдите радиус этой окружности, если $BC = 7$ , $A D = 17$ .

Решать →

6

Окружности и касательныеFIPI ID 56C211

Точки $P$ , $Q$ , $W$ делят стороны выпуклого четырёхугольника $A BC D$ в отношении $A P : PB = CQ : QB = C W : W D = 3 : 4$ , радиус окружности, описанной около треугольника PQW, равен 10, $PQ = 16, Q W = 12$ , угол PWQ $-$ острый. а) Докажите, что треугольник $PQ W$ $-$ прямоугольный. б) Найдите площадь четырёхугольника $A BC D$ .

Решать →

7

Окружности и касательныеFIPI ID 3CDB1B

Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С₁ и В₁ соответственно. а) Докажите, что треугольник АВ $C$ подобен треугольнику АВ₁С₁. б) Вычислите длину стороны ВС и радиус данной окружности, если $∠$ А= $135^{\circ}$ , $B$ ₁ $C$ ₁=10 и площадь треугольника АВ₁С₁ в семь раз меньше площади четырёхугольника ВС $B$ ₁ $C$ ₁.

Решать →

8

ТреугольникиFIPI ID 5E7BDE

Прямая, проходящая через середину $M$ гипотенузы $A B$ прямоугольного треугольника $A BC$ , перпендикулярна $CM$ и пересекает катет $A C$ в точке $K$ . При этом $A K : K C = 1 : 2$ . а) Докажите, что $∠ B A C = 3 0^{\circ}$ . б) Пусть прямые $M K$ и $BC$ пересекаются в точке $P$ , а прямые $A P$ и $B K$ $-$ в точке $Q$ . Найдите $K Q$ , если $BC = 21$ .

Решать →

9

Окружности и касательныеFIPI ID A96557

Точки $P$ , $Q$ , $W$ делят стороны выпуклого четырёхугольника $A BC D$ в отношении $A P : PB = CQ : QB = C W : W D = 1 : 4$ , радиус окружности, описанной около треугольника PQW, равен 10, $PQ = 16, Q W = 12$ , угол $P W Q$ $-$ острый. а) Докажите, что треугольник $PQ W$ $-$ прямоугольный. б) Найдите площадь четырёхугольника $A BC D$ .

Решать →

10

Окружности и касательныеFIPI ID 829956

Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С₁ и В₁ соответственно. а) Докажите, что треугольник АВ $C$ подобен треугольнику АВ₁С₁. б) Вычислите длину стороны ВС и радиус данной окружности, если $∠$ А= $4 5^{\circ}$ , В₁С₁= $6$ и площадь треугольника АВ₁С₁ в восемь раз меньше площади четырёхугольника ВСВ₁С₁.

Решать →

11

Окружности и касательныеFIPI ID 8F66A4

Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С₁ и В₁ соответственно. а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ₁С₁ б) Вычислите длину стороны В₁С₁ и радиус данной окружности, если $∠ A = 15 0^{\circ}$ , $BC = 55$ и площадь треугольника АВ₁С₁ в четыре раза меньше площади четырёхугольника ВСВ₁С₁.

Решать →

12

Окружности и касательныеFIPI ID 2B52E7

Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С₁ и В₁ соответственно. а) Докажите, что треугольник АВ $C$ подобен треугольнику АВ₁С₁ б) Вычислите длину стороны В₁С₁ и радиус данной окружности, если $∠ A = 12 0^{\circ}$ , $BC = 107$ и площадь треугольника АВ₁С₁ в три раза меньше площади четырёхугольника ВСВ₁С₁.

Решать →

13

ТреугольникиFIPI ID FAAE63

Прямая, проходящая через вершину $B$ прямоугольника $A BC D$ перпендикулярно диагонали $A C$ , пересекает сторону $A D$ в точке $M$ , равноудалённой от вершин $B$ и $D$ . а) Докажите, что $∠ A BM = ∠ D B С = 3 0^{\circ}$ . б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой $CM$ , если $BC = 9$ .

Решать →

14

Четырёхугольники и многоугольникиFIPI ID 00E23C

Дана трапеция $A BC D$ с основаниями $A D$ и $BC$ . Диагональ $B D$ разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями $A D$ и $C D$ . а) Докажите, что луч $A C$ $-$ биссектриса угла $B A D$ . б) Найдите $C D$ , если известны диагонали трапеции: $A C = 15$ и $B D = 8, 5$ .

Решать →

15

Окружности и касательныеFIPI ID 4F4F44

На сторонах $A B$ , $BC$ и $A C$ треугольника $A BC$ отмечены точки $C_{1}$ , $A_{1}$ и $B_{1}$ соответственно, причём $A C_{1} : C_{1} B = 8 : 3$ , $B A_{1} : A_{1} C = 1 : 2$ , $A B_{1} : B_{1} C = 1 : 3$ . Отрезки $B B_{1}$ и $C C_{1}$ пересекаются в точке $D$ . а) Докажите, что четырёхугольник $A D A_{1} B_{1}$ — параллелограмм. б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $A BC$ , если отрезки $A D$ и $BC$ перпендикулярны, $A C = 16$ , $BC = 15$ .

Решать →

16

ТреугольникиFIPI ID FCDC46

В равнобедренном остроугольном треугольнике $A BC$ проведены
высоты $A H$ и $CT$ к боковым сторонам $BC$ и $A B$ . Отрезки $H M$ и $HK$ $-$ перпендикуляры к прямым $A B$ и $A C$ соответственно. Отрезки $CT$ и $M K$ пересекаются в точке $E .$ а) Докажите, что $T H = ME .$ б) Найдите длину отрезка $E K,$ если $A B = 13$ и $A C = 10.$

Решать →

17

Окружности и касательныеFIPI ID 2AE241

В треугольнике $A BC$ точки $A_{1}$ , $B_{1}$ и $C_{1}$ $-$ середины сторон $BC$ , $A C$ и $A B$ соответственно, $A H$ $-$ высота, $∠ B A C = 6 0^{\circ}$ , $∠ BC A = 4 5^{\circ}$ . а) Докажите, что точки $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ и $H$ лежат на одной окружности. б) Найдите $A_{1} H$ , если $BC = 23$ .

Решать →

18

Окружности и касательныеFIPI ID C5B743

Четырёхугольник $A BC D$ вписан в окружность радиуса $R = 8$ . Известно,
что $A B = BC = C D = 12$ . а) Докажите, что прямые $BC$ и $A D$ параллельны. б) Найдите $A D$ .

Решать →

19

Окружности и касательныеFIPI ID 6D7942

В остроугольном треугольнике $A BC$ отрезки $A H,$ $BN$ и $C K$ $-$ высоты. Известно, что $A K = 1,$ $B H = 2,$ а $∠ K N H = 6 0^{\circ} .$ а) Докажите, что $∠ A BC = 6 0^{\circ} .$ б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $A BC .$

Решать →

20

ТреугольникиFIPI ID 80E34E

В равнобедренном остроугольном треугольнике $A BC$ проведены
высоты $A H$ и $CT$ к боковым сторонам $BC$ и $A B .$ Отрезки $H M$ и $HK$ $-$ перпендикуляры к прямым $A B$ и $A C$ соответственно. Отрезки $CT$ и $M K$ пересекаются в точке $E .$ а) Докажите, что прямые $A B$ и $E H$ параллельны. б) Найдите длину отрезка $ME,$ если $A B = 13$ и $A C = 10.$

Решать →

21

Четырёхугольники и многоугольникиFIPI ID 4E19FD

В трапеции $A BC D$ основание $A D$ в два раза больше основания $BC$ . Внутри трапеции взяли точку $M$ так, что углы $A BM$ и $D CM$ прямые. а) Докажите, что $A M = D M$ . б) Найдите угол $B A D$ , если угол $A D C$ равен $7 0^{\circ}$ , а расстояние от точки $M$ до прямой $A D$ равно стороне $BC$ .

Решать →

22

Окружности и касательныеFIPI ID 4963FE

В четырёхугольник $K L MN$ вписана окружность с центром $O .$ Эта окружность касается стороны $MN$ в точке $A .$ Известно, что $∠ MN K = 9 0^{\circ},$ $∠ N K L = ∠ K L M = 12 0^{\circ} .$ а) Докажите, что точка $A$ лежит на прямой $L O .$ б) Найдите длину стороны $MN,$ если $L A = 1.$

Решать →

23

Окружности и касательныеFIPI ID 41A5F8

В треугольнике $A BC$ угол $A$ равен $12 0^{\circ}$ . Прямые, содержащие высоты $BM$ и $CN$ треугольника $A BC$ , пересекаются в точке $H$ . Точка $O$ $-$ центр окружности, описанной около треугольника $A BC$ . а) Докажите, что $A H = A O$ . б) Найдите площадь треугольника $A H O$ , если $BC = 15$ , $∠ A BC = 4 5^{\circ}$ .

Решать →

24

Окружности и касательныеFIPI ID 0BC5F1

Окружность проходит через вершины $A$ , $B$ и $C$ параллелограмма $A BC D$ , пересекает продолжение стороны $A D$ за точку $D$ в точке $E$ и пересекает продолжение стороны $C D$ за точку $D$ в точке $K$ . а) Докажите, что $B K = BE$ . б) Найдите отношение $K E : A C$ , если $∠ B A D = 3 0^{\circ}$ .

Решать →

25

Четырёхугольники и многоугольникиFIPI ID B58CFA

Биссектрисы углов $B A D$ и $BC D$ равнобедренной трапеции $A BC D$ пересекаются в точке $O .$ На боковых сторонах $A B$ и $C D$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно так, что $A M = MO,$ $CN = NO .$ а) Докажите, что точки $M,$ $O$ и $N$ лежат на одной прямой. б) Найдите отношение $A M : MB,$ если $A O = CO$ и $BC : A D = 17 : 31.$

Решать →

26

Окружности и касательныеFIPI ID 2412FA

На стороне $BC$ параллелограмма $A BC D$ выбрана точка $M$ такая,
что $A M = MC .$ а) Докажите, что центр вписанной в треугольник $A M D$ окружности лежит
на диагонали $A C .$ б) Найдите радиус вписанной в треугольник $A M D$ окружности, если $A B = 5,$ $BC = 10,$ $∠ B A D = 6 0^{\circ} .$

Решать →

27

Окружности и касательныеFIPI ID 6B82FF

Окружность с центром в точке $O$ касается сторон угла с вершиной $N$ в точках $A$ и $B .$ Отрезок $BC$ — диаметр этой окружности. а) Докажите, что прямая $A C$ параллельна биссектрисе угла $A NB .$ б) Найдите длину отрезка $NO,$ если известно, что $A C = 10$ и $A B = 24.$

Решать →

28

Четырёхугольники и многоугольникиFIPI ID 060A0A

В равнобедренной трапеции $A BC D$ основание $A D$ в три раза больше основания $BC$ . а) Докажите, что высота $C H$ трапеции разбивает основание $A D$ на отрезки, один из которых вдвое больше другого. б) Найдите расстояние от вершины $C$ до середины диагонали $B D$ , если $A D = 15$ и $A C = 261$ .

Решать →

29

Окружности и касательныеFIPI ID B3890A

В трапеции $A BC D$ угол $B A D$ прямой. Окружность, построенная на большем основании $A D$ как на диаметре, пересекает меньшее основание $BC$ в точках $C$ и $M$ . а) Докажите, что $∠ B A M = ∠ C A D$ . б) Диагонали трапеции $A BC D$ пересекаются в точке $O$ . Найдите площадь треугольника $A OB$ , если $A B = 10$ , а $BC = 2 BM$ .

Решать →

30

ТреугольникиFIPI ID E6AC01

В треугольнике $A BC$ угол $A CB$ равен $3 0^{\circ},$ отрезки $A H$ и $A M$ $-$ высота
и медиана соответственно, причём точка $H$ лежит на отрезке $BM .$
Отрезок $MQ$ $-$ высота треугольника $A MC,$ а прямые $A H$ и $MQ$ пересекаются в точке $F .$ Известно, что луч $A M$ $-$ биссектриса угла $C A H .$ а) Докажите, что треугольник $A BC$ прямоугольный. б) Найдите площадь треугольника $CMF,$ если $A B = 8.$

Решать →

31

Окружности и касательныеFIPI ID D9D771

Окружность с центром в точке $O$ высекает на всех сторонах трапеции $A BC D$ равные хорды. а) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной точке. б) Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую
сторону $A B$ в точках $K$ и $L$ так, что $A K = 15$ , $K L = 6$ , $L B = 5$ .

Решать →

32

Окружности и касательныеFIPI ID 54E571

В треугольнике $A BC$ продолжения высоты $C C_{1}$ и биссектрисы $B B_{1}$ пересекают описанную окружность в точках $N$ и $M$ соответственно, $∠ A BC = 4 0^{\circ},$ $∠ A CB = 8 5^{\circ} .$ а) Докажите, что $BM = CN .$ б) Прямые $BC$ и $MN$ пересекаются в точке $D .$ Найдите площадь треугольника $B D N,$ если его высота $B H$ равна 6.

Решать →

33

ТреугольникиFIPI ID B5D2B2

На стороне $A C$ равностороннего треугольника $A BC$ отмечена точка $M .$ Серединный перпендикуляр к отрезку $BM$ пересекает стороны $A B$ и $BC$
в точках $E$ и $K$ соответственно. а) Докажите, что треугольники $A EM$ и $CM K$ подобны. б) Найдите отношение $A M : MC,$ если площади треугольников $A EM$ и $CM K$ равны 4 и 9 соответственно.

Решать →

34

Окружности и касательныеFIPI ID 548CBA

В четырёхугольник $K L MN$ вписана окружность с центром $O .$ Эта окружность касается стороны $MN$ в точке $A .$ Известно, что $∠ MN K = 9 0^{\circ},$ $∠ L MN = ∠ K L M = 6 0^{\circ} .$ а) Докажите, что точка $A$ лежит на прямой $L O .$ б) Найдите длину стороны $MN,$ если $L A = 3.$

Решать →

35

Окружности и касательныеFIPI ID AC39B7

Пятиугольник $A BC D E$ вписан в окружность. Диагонали $A D$ и $BE$ пересекаются в точке $M .$ Известно, что $BC D M$ — параллелограмм. а) Докажите, что $BC = D E .$ б) Найдите длину стороны $A B,$ если известно, что $D E = 4,$ $A D = 7,$ $BE = 8$ и $A B > BC .$

Решать →

36

Четырёхугольники и многоугольникиFIPI ID 34E1B6

Сумма оснований трапеции равна 13, а её диагонали равны 5 и 12. а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны. б) Найдите высоту трапеции.

Решать →

37

Окружности и касательныеFIPI ID 10D010

Высоты $B B_{1}$ и $C C_{1}$ остроугольного треугольника $A BC$ пересекаются вточке $H .$ а) Докажите, что $∠ B B_{1} C_{1} = ∠ B A H .$ б) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника $A BC,$ до стороны $BC,$ если $B_{1} C_{1} = 18$ и $∠ B A C = 3 0^{\circ} .$

Решать →

38

Окружности и касательныеFIPI ID 813416

Окружность проходит через вершины $A$ , $B$ и $D$ параллелограмма $A BC D$ , пересекает сторону $BC$ в точках $B$ и $E$ и пересекает продолжение
стороны $C D$ за точку $D$ в точке $K$ . а) Докажите, что $A E = A K$ . б) Найдите отношение $K E : B D$ , если $∠ B A D = 6 0^{\circ}$ .

Решать →

39

Окружности и касательныеFIPI ID 7C842B

В треугольнике $A BC$ точки $M$ и $N$ лежат на сторонах $A B$ и $BC$ соответственно так, что $A M : MB = CN : NB = 2 : 3.$ Окружность, вписанная
в треугольник $A BC,$ касается отрезка $MN$ в точке $L .$ а) Докажите, что $A B + BC = 4 A C .$ б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $A BC,$ если $M L = \frac{9}{5},$ $L N = 3.$

Решать →

40

Окружности и касательныеFIPI ID 73BE23

Окружность проходит через вершины $A$ , $B$ и $D$ параллелограмма $A BC D$ , пересекает сторону $BC$ в точках $B$ и $E$ и пересекает сторону $C D$
в точках $K$ и $D$ . а) Докажите, что $A E = A K$ . б) Найдите $A D$ , если $CE = 10$ , $DK = 9$ и $cos ∠ B A D = 0, 2$ .

Решать →

41

Окружности и касательныеFIPI ID EA7D2B

В треугольнике $A BC$ точки $A_{1}$ , $B_{1}$ и $C_{1}$ $-$ середины сторон $BC$ , $A C$ и $A B$ соответственно, $A H$ $-$ высота, $∠ B A C = 12 0^{\circ}$ , $∠ BC A = 4 5^{\circ}$ . а) Докажите, что точки $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ и $H$ лежат на одной окружности. б) Найдите $A_{1} H$ , если $BC = 63$ .

Решать →

42

Четырёхугольники и многоугольникиFIPI ID FC6FD7

В параллелограмме $A BC D$ угол $B A C$ вдвое больше угла $C A D .$
Биссектриса угла $B A C$ пересекает отрезок $BC$ в точке $L .$ На продолжении стороны $C D$ за точку $D$ выбрана такая точка $E,$ что $A E = CE .$ а) Докажите, что $A L \cdot BC = A B \cdot A C .$ б) Найдите $E L,$ если $A C = 8,$ $tg ∠ BC A = \frac{1}{2} .$

Решать →

43

ТреугольникиFIPI ID 0112D3

В равнобедренном остроугольном треугольнике $A BC$ проведены
высоты $A H$ и $CT$ к боковым сторонам $BC$ и $A B .$ Отрезки $H M$ и $HK$ $-$ перпендикуляры к прямым $A B$ и $A C$ соответственно. Отрезки $CT$ и $M K$ пересекаются в точке $E .$ а) Докажите, что прямые $A B$ и $E H$ параллельны. б) Найдите длину отрезка $ME,$ если $A B = 17$ и $A C = 16.$

Решать →

44

Окружности и касательныеFIPI ID 0E9DD3

В остроугольном треугольнике $A BC$ угол $B A C$ в два раза больше угла $A BC .$ Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $A BC .$ Окружность, описанная около треугольника $A OC,$ пересекает отрезок $BC$ в точках $C$ и $P .$ а) Докажите, что $A P = BP .$ б) Найдите длину стороны $BC,$ если $A B = 7,$ $A C = 4.$

Решать →

45

Окружности и касательныеFIPI ID 16DDDD

В остроугольном треугольнике $A BC$ угол $B A C$ в два раза больше угла $A BC .$ Точка $O$ $-$ центр окружности, описанной около треугольника $A BC .$ Окружность, описанная около треугольника $A OC,$ пересекает отрезок $BC$ в точках $C$ и $P .$ а) Докажите, что треугольники $P A C$ и $A BC$ подобны. б) Найдите длину стороны $A B,$ если $A C = 2,$ $BC = 10 .$

Решать →

46

ТреугольникиFIPI ID EF3DDA

В прямоугольном треугольнике $A BC$ точка $M$ лежит на катете $A C$ , а точка $N$ лежит на продолжении катета $BC$ за точку $C$ , причём $CM = BC$ и $CN = A C$ . а) Отрезки $CP$ и $CQ$ $-$ медианы треугольников $A BC$ и $NCM$ соответственно. Докажите, что прямые $CP$ и $CQ$ перпендикулярны. б) Прямые $MN$ и $A B$ пересекаются в точке $K$ , а прямые $BM$ и $A N$ $-$
в точке $L$ . Найдите $K L$ , если $BC = 1$ , а $A C = 5$ .

Решать →

47

Окружности и касательныеFIPI ID D8C152

Пятиугольник $A BC D E$ вписан в окружность. Известно, что $A B = C D = 3,$ $BC = D E = 4.$ а) Докажите, что $A C = CE .$ б) Найдите длину диагонали $BE,$ если $A D = 6.$

Решать →

48

Окружности и касательныеFIPI ID D6A053

Окружность с центром $O$ касается боковых сторон $A B$ и $BC$ равнобедренного остроугольного треугольника $A BC$ и его высоты $C H .$ а) Докажите, что $∠ A OC = 9 0^{\circ} .$ б) Найдите площадь треугольника $A BC,$ если $BO = 7$ и $A C = 16.$

Решать →

49

Четырёхугольники и многоугольникиFIPI ID 5259A1

Сумма оснований трапеции равна 10, а её диагонали равны 6 и 8. а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны. б) Найдите высоту трапеции.

Решать →

50

Окружности и касательныеFIPI ID A7A4AB

Две окружности касаются внутренним образом в точке $C$ . Вершины $A$ и $B$ равнобедренного прямоугольного треугольника $A BC$ с прямым углом $C$ лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая $A C$ вторично пересекает бо́льшую окружность в точке $E$ , а прямая $BC$ вторично пересекает меньшую окружность в точке $D$ . а) Докажите, что прямые $A D$ и $BE$ параллельны. б) Найдите $A C$ , если радиусы окружностей равны 3 и 4.

Решать →

51

Окружности и касательныеFIPI ID 9595A4

В треугольнике $A BC$ точки $A_{1}$ , $B_{1}$ и $C_{1}$ $-$ середины сторон $BC$ , $A C$ и $A B$ соответственно, $A H$ $-$ высота, $∠ B A C = 3 0^{\circ}$ , $∠ BC A = 4 5^{\circ}$ . а) Докажите, что точки $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ и $H$ лежат на одной окружности. б) Найдите $A_{1} H$ , если $BC = 43$ .

Решать →

52

Окружности и касательныеFIPI ID 8377A1

Окружность с центром в точке $O$ касается сторон угла с вершиной $N$ в точках $A$ и $B .$ Отрезок $BC$ — диаметр этой окружности. а) Докажите, что $∠ A NB = 2∠ A BC .$ б) Найдите расстояние от точки $N$ до прямой $A B,$ если известно, что $A C = 14$ и $A B = 36.$

Решать →

53

Четырёхугольники и многоугольникиFIPI ID 78A6C2

Прямая, перпендикулярная стороне $BC$ ромба $A BC D,$ пересекает его диагональ $A C$ в точке $M,$ а диагональ $B D$ в точке $N,$ причём $A M : MC = 1 : 2,$ $BN : N D = 1 : 3.$ а) Докажите, что $cos ∠ B A D = \frac{1}{5}$ . б) Найдите площадь ромба, если $MN = 5.$

Решать →

54

ТреугольникиFIPI ID A003CB

В прямоугольном треугольнике $A BC$ точки $M$ и $N$ — середины гипотенузы $A B$ и катета $BC$ соответственно, точка $K$ отмечена на катете $BC$ так, что $C K : K B = 1 : 3.$ а) Докажите, что $A N = 2 K M .$ б) Пусть $P$ — точка пересечения отрезков $A N$ и $K M$ . Найдите длину отрезка прямой $BP,$ заключённого внутри треугольника $A BC,$ если $A C = 6,$ $BC = 8.$

Решать →

55

Окружности и касательныеFIPI ID 9C96C5

Окружность с центром $O$ касается катетов $A C$ и $BC$ прямоугольного треугольника $A BC$ в точках $M$ и $E$ соответственно, а его гипотенузы $-$
в точке $K .$ Отрезок $E H$ $-$ перпендикуляр к прямой $M K .$ а) Докажите, что прямые $C H$ и $E K$ параллельны. б) Найдите отношение $C H : E K,$ если $A C = 12$ и $BC = 5.$

Решать →

56

Окружности и касательныеFIPI ID BAD790

В треугольнике $A BC$ точки $A_{1}$ , $B_{1}$ и $C_{1}$ $-$ середины сторон $BC$ , $A C$ и $A B$ соответственно, $A H$ $-$ высота, $∠ B A C = 12 0^{\circ}$ , $∠ BC A = 1 5^{\circ}$ . а) Докажите, что точки $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ и $H$ лежат на одной окружности. б) Найдите $A_{1} H$ , если $BC = 43$ .

Решать →

57

Окружности и касательныеFIPI ID 92699C

Периметр треугольника $A BC$ равен 36. Точки $E$ и $F$ — середины сторон $A B$ и $BC$ соответственно. Отрезок $EF$ касается окружности, вписанной в треугольник $A BC .$ а) Докажите, что $A C = 9.$ б) Найдите площадь треугольника $A BC,$ если $∠ A CB = 9 0^{\circ} .$

Решать →

58

Окружности и касательныеFIPI ID 86B99A

В квадрате $A BC D$ точки $M$ и $N$ $-$ середины сторон $A B$ и $BC$ соответственно. Отрезки $CM$ и $D N$ пересекаются в точке $K .$ а) Докажите, что $∠ B K M = 4 5^{\circ} .$ б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $A B K,$ если сторона $A B = 210 .$

Решать →

59

ТреугольникиFIPI ID F2A2EB

На стороне $A C$ равностороннего треугольника $A BC$ отмечена точка $M .$ Серединный перпендикуляр к отрезку $BM$ пересекает стороны $A B$ и $BC$
в точках $E$ и $K$ соответственно. а) Докажите, что $∠ A EM = ∠ CM K .$ б) Найдите отношение площадей треугольников $A EM$ и $CM K,$ если $A M : MC = 1 : 4.$

Решать →

60

Окружности и касательныеFIPI ID 0E3CE7

Окружность с центром $O$ касается боковых сторон $A B$ и $BC$ равнобедренного остроугольного треугольника $A BC$ и его высоты $C H .$ а) Докажите, что $∠ O A C = 4 5^{\circ} .$ б) Найдите длину отрезка $BC,$ если $BO = 1$ и $A C = 6.$

Решать →

61

ТреугольникиFIPI ID 0063ED

В остроугольном треугольнике $A BC$ высоты $A A_{1},$ $B B_{1}$ и $C C_{1}$ пересекаются
в точке $H$ . Через точку $C_{1}$ параллельно высоте $B B_{1}$ проведена прямая, пересекающая высоту $A A_{1}$ в точке $K .$ а) Докажите, что $A B \cdot KH = BC \cdot C_{1} H .$ б) Найдите отношение площадей треугольников $C_{1} HK$ и $A BC,$ если $A B = 6,$ $BC = 4,$ $A C = 5.$

Решать →

62

Окружности и касательныеFIPI ID BE8FE4

Две окружности касаются внутренним образом в точке $A,$ причём меньшая проходит через центр большей. Хорда $BC$ большей окружности касается меньшей в точке $P .$ Хорды $A B$ и $A C$ пересекают меньшую окружность
в точках $K$ и $M$ соответственно. а) Докажите, что прямые $K M$ и $BC$ параллельны. б) Пусть $L$ — точка пересечения отрезков $K M$ и $A P .$ Найдите длину отрезка $A L,$ если радиус большей окружности равен 34, а $BC = 32.$

Решать →

63

Четырёхугольники и многоугольникиFIPI ID 003F6E

На стороне $BC$ треугольника $A BC$ отмечена точка $D$ так, что $A B = B D .$ Биссектриса $BF$ треугольника $A BC$ пересекает прямую $A D$ в точке $E .$
Из точки $C$ на прямую $A D$ опущен перпендикуляр $C K .$ а) Докажите, что $A B : BC = A E : E K .$ б) Найдите отношение площади треугольника $A BE$ к площади четырёхугольника $C D EF,$ если $B D : D C = 5 : 2.$

Решать →

64

Четырёхугольники и многоугольникиFIPI ID E80769

Прямая, перпендикулярная стороне $BC$ ромба $A BC D,$ пересекает его диагональ $A C$ в точке $M,$ а диагональ $B D$ в точке $N,$ причём $A M : MC = 1 : 2,$ $BN : N D = 1 : 3.$ а) Докажите, что прямая $MN$ делит сторону ромба $BC$ в отношении $1 : 4.$ б) Найдите сторону ромба, если $MN = 6 .$

Решать →

65

Четырёхугольники и многоугольникиFIPI ID 36CE6E

В параллелограмме $A BC D$ с острым углом $B A D$ из вершины $B$ проведены высоты $BP$ и $BQ,$ причём точка $P$ лежит на стороне $A D,$ а точка $Q$ $-$ на стороне $C D .$ На стороне $A D$ отмечена точка $M .$ Известно, что $A M = BP,$ $A B = BQ .$ а) Докажите, что $BM = PQ .$ б) Найдите площадь треугольника $A PQ,$ если $A M = BP = 8,$ $A B = BQ = 10.$

Решать →

66

ТреугольникиFIPI ID 8E946E

В равнобедренном остроугольном треугольнике $A BC$ проведены
высоты $A H$ и $CT$ к боковым сторонам $BC$ и $A B .$ Отрезки $H M$ и $HK$ $-$ перпендикуляры к прямым $A B$ и $A C$ соответственно. Отрезки $CT$ и $M K$ пересекаются в точке $E .$ а) Докажите, что $T H = ME .$ б) Найдите длину отрезка $E K,$ если $A B = 5$ и $A C = 6.$

Решать →

67

Окружности и касательныеFIPI ID 7E3432

Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке $C$ . Вершины $A$ и $B$ равнобедренного прямоугольного треугольника $A BC$
с прямым углом $C$ лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая $A C$ вторично пересекает бо́льшую окружность
в точке $E$ , а прямая $BC$ вторично пересекает меньшую окружность в точке $D$ . а) Докажите, что прямые $A D$ и $BE$ параллельны. б) Найдите $BC$ , если радиусы окружностей равны $15$ и 15.

Решать →

68

Окружности и касательныеFIPI ID 7EEB3E

Окружность с центром $O_{1}$ касается оснований $BC$ и $A D$ и боковой стороны $A B$ трапеции $A BC D$ . Окружность с центром $O_{2}$ касается сторон $BC$ , $C D$ и $A D$ . Известно, что $A B = 10$ , $BC = 9$ , $C D = 30$ , $A D = 39$ . а) Докажите, что прямая $O_{1} O_{2}$ параллельна основаниям трапеции $A BC D$ . б) Найдите $O_{1} O_{2}$ .

Решать →

69

Четырёхугольники и многоугольникиFIPI ID 15EF35

Точка $E$ $-$ середина боковой стороны $C D$ трапеции $A BC D$ . На стороне $A B$ взяли точку $K$ так, что прямые $C K$ и $A E$ параллельны. Отрезки $C K$ и $BE$ пересекаются в точке $O$ . а) Докажите, что $CO = K O$ . б) Найдите отношение оснований трапеции $BC$ и $A D$ , если площадь треугольника $BC K$ составляет $\frac{9}{100}$ площади трапеции $A BC D$ .

Решать →

70

Окружности и касательныеFIPI ID 909839

Окружность проходит через вершины $A$ , $B$ и $D$ параллелограмма $A BC D$ , пересекает сторону $BC$ в точках $B$ и $M$ и пересекает продолжение
стороны $C D$ за точку $D$ в точке $N$ . а) Докажите, что $A M = A N$ . б) Найдите отношение $C D : D N$ , если $A B : BC = 1 : 2$ , а $cos ∠ B A D = \frac{2}{3}$ .

Решать →

71

Четырёхугольники и многоугольникиFIPI ID 832C34

В равнобедренной трапеции $A BC D$ основание $A D$ в два раза больше основания $BC$ . а) Докажите, что высота $C H$ трапеции разбивает основание $A D$ на отрезки, один из которых втрое больше другого. б) Пусть $O$ $-$ точка пересечения диагоналей трапеции $A BC D$ . Найдите расстояние от вершины $C$ до середины отрезка $O D$ , если $BC = 16$ и $A B = 10$ .

Решать →

72

Четырёхугольники и многоугольникиFIPI ID AC2684

На сторонах $A B$ , $BC$ и $A C$ треугольника $A BC$ отмечены точки $C_{1}$ , $A_{1}$ и $B_{1}$ соответственно, причём $A C_{1} : C_{1} B = 21 : 10$ , $B A_{1} : A_{1} C = 2 : 3$ , $A B_{1} : B_{1} C = 2 : 5$ . Отрезки $B B_{1}$ и $C C_{1}$ пересекаются в точке $D$ . а) Докажите, что четырёхугольник $A D A_{1} B_{1}$ $-$ параллелограмм. б) Найдите $C D$ , если отрезки $A D$ и $BC$ перпендикулярны, $A C = 63$ , $BC = 25$ .

Решать →

73

Четырёхугольники и многоугольникиFIPI ID E87882

Биссектрисы углов $B A D$ и $BC D$ равнобедренной трапеции $A BC D$ пересекаются в точке $O .$ Через точку $O$ провели прямую, параллельную основаниям $BC$ и $A D .$ а) Докажите, что отрезок этой прямой внутри трапеции равен её боковой стороне. б) Найдите отношение длин оснований трапеции, если $A O = CO$ и данная прямая делит сторону $A B$ в отношении $A M : MB = 1 : 2.$

Решать →

74

Окружности и касательныеFIPI ID 3B468E

В треугольнике $A BC$ угол $A$ равен $12 0^{\circ}$ . Прямые, содержащие высоты $BM$ и $CN$ треугольника $A BC$ , пересекаются в точке $H$ . Точка $O$ $-$ центр окружности, описанной около треугольника $A BC$ . а) Докажите, что $A H = A O$ . б) Найдите площадь треугольника $A H O$ , если $BC = 3$ , $∠ A BC = 1 5^{\circ}$ .

Решать →

75

Окружности и касательныеFIPI ID 8C8D87

Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию $A BC D$ , касается её боковой стороны $C D$ в точке $M$ . Луч $A M$ вторично пересекает окружность в точке $N$ , а прямую $BC$ — в точке $K$ , причём $A N = 4$ , $MN = 12$ . а) Докажите, что $∠ A M D = ∠ MC K$ . б) Найдите основания трапеции.

Решать →