Задание 35 из 58Графики функций

Линия №12 · Повышенный уровень

На рисунке изображены графики функций видов $f$ ( $x$ ) = $\frac{k}{x}$ и $g$ ( $x$ ) = ax + $b$ , пересекающиеся в точках $A$ и $B$ . Найдите абсциссу точки $B$ .

График функций для задания 12 ЕГЭ по профильной математике, ФИПИ 87FAA1 — Оригинальная запись формул из условия задания №12 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 87FAA1

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 12

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Это графическая задача ФИПИ 87FAA1. Здесь не нужно измерять кривую линейкой: использовать отмеченную точку (-4; -3), затем приравнять восстановленные функции, решить уравнение и выбрать координату нужной точки пересечения. Все числа берём только из подписанных узлов координатной сетки.

Ключевая идея:

использовать отмеченную точку (-4; -3), затем приравнять восстановленные функции, решить уравнение и выбрать координату нужной точки пересечения. Для этой карточки ключевое равенство записано отдельно ниже.

\frac{12}{x}=\left(\frac{1}{4}\right)x - 2

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно этот график: точно считаем отмеченные координаты, восстанавливаем формулу, выполняем подстановку или решаем уравнение пересечения, а затем обязательно проверяем результат на исходном рисунке.

Дано с графика:

f(x)=\frac{12}{x}

g(x)=\left(\frac{1}{4}\right)x - 2

P_1=(-4;-3)

\frac{12}{x}=\left(\frac{1}{4}\right)x - 2

Нужно найти: абсциссу точки B; для проверки ожидаем x_B = 12.

План решения: использовать отмеченную точку (-4; -3), затем приравнять восстановленные функции, решить уравнение и выбрать координату нужной точки пересечения. Для этой карточки ключевое равенство записано отдельно ниже.

Пересечение гиперболы и прямой

\frac{k}{x}=mx+b,\qquad x\ne0

В точке пересечения обе функции имеют одну ординату, поэтому их выражения нужно приравнять. Умножать на x разрешено только после условия x ≠ 0.

Шаг 1. Считаем точные данные с графика

Сначала восстанавливаем одну из функций по подписанным точкам, нулям или коэффициенту на исходном рисунке. Точка A(-4; -3) лежит на гиперболе, поэтому k = -4 · -3 = 12; f(x) = (12)/(x), x ≠ 0.

(-4;-3)\in G_f

f(x)=\frac{12}{x}

Шаг 2. Восстанавливаем вторую формулу

Так же точно находим формулу второго графика; одной визуальной оценки места пересечения недостаточно. По двум узлам прямой получаем g(x) = (1/4)x − 2.

g(x)=\left(\frac{1}{4}\right)x - 2

Шаг 3. Составляем уравнение пересечения

В точке пересечения ординаты равны, поэтому приравниваем правые части двух найденных формул. Точки пересечения удовлетворяют (12)/(x) = (1/4)x − 2.

\frac{12}{x}=\left(\frac{1}{4}\right)x - 2

x\ne0

Шаг 4. Решаем уравнение с учётом ОДЗ

Преобразуем уравнение по действиям, отдельно контролируя знаменатели, корни и допустимые значения. Умножаем на x (x ≠ 0) и решаем квадратное уравнение; корни x = -4 и x = 12.

\frac{12}{x}=\left(\frac{1}{4}\right)x - 2

x\in\{-4,12\}

Шаг 5. Выбираем требуемую точку

Сопоставляем найденные корни с обозначениями точек на рисунке и оставляем именно ту абсциссу, которую спрашивают. Корень -4 относится к уже известной точке A, поэтому абсцисса второй точки B равна 12.

x_A=-4,\qquad x_B=12

Шаг 6. Проверяем обе функции и ответ

Подставляем выбранный x в обе функции: равные ординаты подтверждают найденную точку пересечения. Проверка: f(12) = 1, g(12) = 1. Значения совпали. Ответ: 12.

f(12)=1=g(12)

\boxed{12}

Проверка подстановкой обязательна: она одновременно контролирует считанные с графика коэффициенты, вычисления и выбор нужной точки.

Ответ:

12

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Пересечение гиперболы и прямой
В точке пересечения обе функции имеют одну ординату, поэтому их выражения нужно приравнять. Умножать на x разрешено только после условия x ≠ 0.
$\frac{k}{x}=mx+b,\qquad x\ne0$
Точная модель карточки 87FAA1
Все коэффициенты берутся из отмеченных узлов оригинального графика 87FAA1; для вычислений используется восстановленная формула, а не примерное положение кривой.
$f(x)=\frac{12}{x},\qquad g(x)=\left(\frac{1}{4}\right)x - 2$
Критерий ответа и проверка
Искомая абсцисса обязана давать одинаковые ординаты на обоих графиках; для 87FAA1 это число 12.
$f(12)=1=g(12)$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Умножить уравнение на x без ОДЗ
Перед избавлением от знаменателя обязательно записываем x ≠ 0, иначе можно сохранить посторонний корень. В карточке 87FAA1 это правило применяется до числового ответа.
$x\ne0$
Считать координаты по пикселям
Используем только подписанные целые узлы координатной сетки и точные пересечения. Абсцисса стоит первой, ордината — второй.
$(-4;-3)$
Ответить не на тот вопрос
Нужна абсцисса точки B, а не её ордината и не корень, относящийся к точке A. Для 87FAA1 записываем только 12.
$\boxed{12}$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Координаты прочитаны в правильном порядке
Сверьте использованные точки с оригинальным рисунком ФИПИ 87FAA1; первая координата — x, вторая — y.
$x_0=-4,\qquad y_0=-3$
Формула и ОДЗ проверены
Подставьте контрольную точку в восстановленную функцию и убедитесь, что знаменатель не равен нулю, а подкоренное выражение или аргумент логарифма допустимы.
$f(x)=\frac{12}{x},\qquad g(x)=\left(\frac{1}{4}\right)x - 2$
Получен именно требуемый результат
Подстановка выбранной абсциссы должна дать одну и ту же ординату на обоих графиках.
$f(12)=1=g(12),\qquad \boxed{12}$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №12Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

На рисунке изображены графики функций видов f(x) = xk​ и g(x) = ax + b, пересекающиеся в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.