Задание 9 из 58Графики функций

Линия №12 · Повышенный уровень

На рисунке изображён график функции вида $f$ ( $x$ ) = $\frac{k}{x}$ . Найдите значение $f$ (10).

График функций для задания 12 ЕГЭ по профильной математике, ФИПИ 90227A — Оригинальная запись формул из условия задания №12 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 90227A

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 0,5

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Это графическая задача ФИПИ 90227A. Здесь не нужно измерять кривую линейкой: использовать отмеченную точку (5; 1), затем восстановить точную формулу функции и вычислить её при x = 10. Все числа берём только из подписанных узлов координатной сетки.

Ключевая идея:

использовать отмеченную точку (5; 1), затем восстановить точную формулу функции и вычислить её при x = 10. Для этой карточки ключевое равенство записано отдельно ниже.

k=5\cdot 1,\qquad f(10)=0{,}5

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно этот график: точно считаем отмеченные координаты, восстанавливаем формулу, выполняем подстановку или решаем уравнение пересечения, а затем обязательно проверяем результат на исходном рисунке.

Дано с графика:

f(x)=\frac{5}{x}

P_1=(5;1)

k=5\cdot 1,\qquad f(10)=0{,}5

Нужно найти: точное значение f(10); коэффициент функции является только промежуточным результатом.

План решения: использовать отмеченную точку (5; 1), затем восстановить точную формулу функции и вычислить её при x = 10. Для этой карточки ключевое равенство записано отдельно ниже.

Коэффициент гиперболы

f(x)=\frac{k}{x},\qquad k=x_0y_0,\quad x\ne0

Для любой точки гиперболы y = k/x произведение её координат равно k. После нахождения k подставляем требуемый аргумент.

Шаг 1. Считаем отмеченную точку с графика

Берём координаты именно подписанного узла сетки: абсцисса записывается первой, ордината — второй. Для гиперболы f(x) = (k)/(x) действует ОДЗ x ≠ 0; 10 допустимо.

(5;1)\in G_f

f(x)=\frac{5}{x}

Шаг 2. Находим неизвестный коэффициент

Подставляем обе координаты в указанный в условии вид функции и из полученного равенства находим параметр. Точка (5; 1) с рисунка 90227A даёт равенство 1 = (k)/(5).

k=5\cdot 1,\qquad f(10)=0{,}5

f(x)=\frac{5}{x}

Шаг 3. Проверяем область допустимых значений

До деления, умножения на переменную или вычисления корня фиксируем ОДЗ; недопустимые значения дальше не рассматриваем. Умножаем на 5: k = 5 · 1 = 5.

k=5\cdot 1,\qquad f(10)=0{,}5

x\ne0

Шаг 4. Подставляем требуемый аргумент

Теперь формула функции полностью известна. Вместо x ставим число, указанное внутри f(x) в вопросе. Значит, f(10) = (5)/(10).

f(10)=\frac{5}{(10)}

Шаг 5. Выполняем точное вычисление

Считаем без округлений: степени, корни и дроби сохраняем в точном виде до последнего действия. Сокращаем дробь точно: (5)/(10) = 0,5.

f(10)=0{,}5

Шаг 6. Проверяем формулу и записываем ответ

Возвращаем в найденную формулу контрольную точку с рисунка и убеждаемся, что получается её ордината. Проверка исходной точки: (5)/(5) = 1. График и формула согласованы. Ответ: 0,5.

f(x)=\frac{5}{x},\qquad \boxed{0{,}5}

\boxed{0{,}5}

Проверка подстановкой обязательна: она одновременно контролирует считанные с графика коэффициенты, вычисления и выбор нужной точки.

Ответ:

0{,}5

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Коэффициент гиперболы
Для любой точки гиперболы y = k/x произведение её координат равно k. После нахождения k подставляем требуемый аргумент.
$f(x)=\frac{k}{x},\qquad k=x_0y_0,\quad x\ne0$
Точная модель карточки 90227A
Все коэффициенты берутся из отмеченных узлов оригинального графика 90227A; для вычислений используется восстановленная формула, а не примерное положение кривой.
$f(x)=\frac{5}{x}$
Критерий ответа и проверка
После подстановки аргумента 10 функция должна дать 0,5; затем формулу проверяем по исходной точке.
$f(x)=\frac{5}{x},\qquad \boxed{0{,}5}$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Разделить координаты вместо их умножения
Из y = k/x после умножения на x получаем k = xy. В карточке 90227A это правило применяется до числового ответа.
$k=x_0y_0$
Считать координаты по пикселям
Используем только подписанные целые узлы координатной сетки и точные пересечения. Абсцисса стоит первой, ордината — второй.
$(5;1)$
Ответить не на тот вопрос
Нужно найти значение функции при x = 10, а не коэффициент функции. Для 90227A итог равен 0,5.
$\boxed{0{,}5}$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Координаты прочитаны в правильном порядке
Сверьте использованные точки с оригинальным рисунком ФИПИ 90227A; первая координата — x, вторая — y.
$x_0=5,\qquad y_0=1$
Формула и ОДЗ проверены
Подставьте контрольную точку в восстановленную функцию и убедитесь, что знаменатель не равен нулю, а подкоренное выражение или аргумент логарифма допустимы.
$k=5\cdot 1,\qquad f(10)=0{,}5$
Получен именно требуемый результат
Подставьте x = 10 и повторите последнее арифметическое действие без округления.
$f(x)=\frac{5}{x},\qquad \boxed{0{,}5},\qquad \boxed{0{,}5}$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №12Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

На рисунке изображён график функции вида f(x) = xk​. Найдите значение f(10).