Задание 50 из 58Графики функций

Линия №12 · Повышенный уровень

На рисунке изображены графики функций видов $f$ ( $x$ ) = $a$ $x$ и $g$ ( $x$ ) = kx, пересекающиеся в точках $A$ и $B$ . Найдите абсциссу точки $B$ .

График функций для задания 12 ЕГЭ по профильной математике, ФИПИ 6E8B6F — Оригинальная запись формул из условия задания №12 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 6E8B6F

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 25

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Это графическая задача ФИПИ 6E8B6F. Здесь не нужно измерять кривую линейкой: считать точные узлы координатной сетки, затем приравнять восстановленные функции, решить уравнение и выбрать координату нужной точки пересечения. Все числа берём только из подписанных узлов координатной сетки.

Ключевая идея:

считать точные узлы координатной сетки, затем приравнять восстановленные функции, решить уравнение и выбрать координату нужной точки пересечения. Для этой карточки ключевое равенство записано отдельно ниже.

5\sqrt{x}=(1)x

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно этот график: точно считаем отмеченные координаты, восстанавливаем формулу, выполняем подстановку или решаем уравнение пересечения, а затем обязательно проверяем результат на исходном рисунке.

Дано с графика:

f(x)=5\sqrt{x}

g(x)=(1)x

5\sqrt{x}=(1)x

Нужно найти: абсциссу точки B; для проверки ожидаем x_B = 25.

План решения: считать точные узлы координатной сетки, затем приравнять восстановленные функции, решить уравнение и выбрать координату нужной точки пересечения. Для этой карточки ключевое равенство записано отдельно ниже.

Замена переменной при наличии корня

a\sqrt{x}=kx,\qquad t=\sqrt{x}\ge0

После приравнивания функций делаем замену t = √x. Условие t ≥ 0 обязательно, а в конце возвращаемся к x = t².

Шаг 1. Считаем точные данные с графика

Сначала восстанавливаем одну из функций по подписанным точкам, нулям или коэффициенту на исходном рисунке. По отмеченным точкам 6E8B6F: f(x) = 5√x, а прямая g(x) = (1)x. ОДЗ: x ≥ 0.

f(x)=5\sqrt{x}

f(x)=5\sqrt{x}

Шаг 2. Восстанавливаем вторую формулу

Так же точно находим формулу второго графика; одной визуальной оценки места пересечения недостаточно. В точках пересечения 5√x = (1)x. Положим t = √x, тогда t ≥ 0 и x = t².

g(x)=(1)x

Шаг 3. Составляем уравнение пересечения

В точке пересечения ординаты равны, поэтому приравниваем правые части двух найденных формул. Получаем 5t = (1)t², или t·((1)t − 5) = 0.

5\sqrt{x}=(1)x

x\ge0

Шаг 4. Решаем уравнение с учётом ОДЗ

Преобразуем уравнение по действиям, отдельно контролируя знаменатели, корни и допустимые значения. Отсюда t = 0 либо t = 5; следовательно, x = 0 либо x = 5² = 25.

5\sqrt{x}=(1)x

x\in\{0,25\}

Шаг 5. Выбираем требуемую точку

Сопоставляем найденные корни с обозначениями точек на рисунке и оставляем именно ту абсциссу, которую спрашивают. Нулевой корень соответствует точке A, поэтому у второй точки B абсцисса 25.

x_A=0,\qquad x_B=25

Шаг 6. Проверяем обе функции и ответ

Подставляем выбранный x в обе функции: равные ординаты подтверждают найденную точку пересечения. Проверка: f(25) = 25, g(25) = 25. Ответ: 25.

f(25)=25=g(25)

\boxed{25}

Проверка подстановкой обязательна: она одновременно контролирует считанные с графика коэффициенты, вычисления и выбор нужной точки.

Ответ:

25

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Замена переменной при наличии корня
После приравнивания функций делаем замену t = √x. Условие t ≥ 0 обязательно, а в конце возвращаемся к x = t².
$a\sqrt{x}=kx,\qquad t=\sqrt{x}\ge0$
Точная модель карточки 6E8B6F
Все коэффициенты берутся из отмеченных узлов оригинального графика 6E8B6F; для вычислений используется восстановленная формула, а не примерное положение кривой.
$f(x)=5\sqrt{x},\qquad g(x)=(1)x$
Критерий ответа и проверка
Искомая абсцисса обязана давать одинаковые ординаты на обоих графиках; для 6E8B6F это число 25.
$f(25)=25=g(25)$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Не вернуться от t к x
После решения уравнения относительно t = √x ответом остаётся x = t², а не t. В карточке 6E8B6F это правило применяется до числового ответа.
$t=\sqrt{x}\Longrightarrow x=t^2$
Считать координаты по пикселям
Используем только подписанные целые узлы координатной сетки и точные пересечения. Абсцисса стоит первой, ордината — второй.
$5\sqrt{x}=(1)x$
Ответить не на тот вопрос
Нужна абсцисса точки B, а не её ордината и не корень, относящийся к точке A. Для 6E8B6F записываем только 25.
$\boxed{25}$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Координаты прочитаны в правильном порядке
Сверьте использованные точки с оригинальным рисунком ФИПИ 6E8B6F; первая координата — x, вторая — y.
$f(x)=5\sqrt{x}$
Формула и ОДЗ проверены
Подставьте контрольную точку в восстановленную функцию и убедитесь, что знаменатель не равен нулю, а подкоренное выражение или аргумент логарифма допустимы.
$f(x)=5\sqrt{x},\qquad g(x)=(1)x$
Получен именно требуемый результат
Подстановка выбранной абсциссы должна дать одну и ту же ординату на обоих графиках.
$f(25)=25=g(25),\qquad \boxed{25}$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №12Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

На рисунке изображены графики функций видов f(x) = ax​ и g(x) = kx, пересекающиеся в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.