Задание 54 из 58Графики функций

Линия №12 · Повышенный уровень

На рисунке изображён график функции вида $f$ ( $x$ ) = $lo g_{a} (x)$ . Найдите значение $f$ (16).

График функций для задания 12 ЕГЭ по профильной математике, ФИПИ 196238 — Оригинальная запись формул из условия задания №12 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 196238

Ответ:

Показать ответ

Ответ: -4

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Это графическая задача ФИПИ 196238. Здесь не нужно измерять кривую линейкой: использовать отмеченную точку (2; -1), затем восстановить точную формулу функции и вычислить её при x = 16. Все числа берём только из подписанных узлов координатной сетки.

Ключевая идея:

использовать отмеченную точку (2; -1), затем восстановить точную формулу функции и вычислить её при x = 16. Для этой карточки ключевое равенство записано отдельно ниже.

\log_a 2=-1\Longleftrightarrow a^{-1}=2

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно этот график: точно считаем отмеченные координаты, восстанавливаем формулу, выполняем подстановку или решаем уравнение пересечения, а затем обязательно проверяем результат на исходном рисунке.

Дано с графика:

f(x)=\log_{\frac{1}{2}}x

P_1=(2;-1)

\log_a 2=-1\Longleftrightarrow a^{-1}=2

Нужно найти: точное значение f(16); коэффициент функции является только промежуточным результатом.

План решения: использовать отмеченную точку (2; -1), затем восстановить точную формулу функции и вычислить её при x = 16. Для этой карточки ключевое равенство записано отдельно ниже.

Определение логарифма

\log_a b=c\Longleftrightarrow a^c=b,\qquad a>0,\ a\ne1,\ b>0

Координаты отмеченной точки дают одно точное логарифмическое равенство. Переводим его в показательную форму, находим основание и только после этого вычисляем требуемый логарифм.

Шаг 1. Считаем отмеченную точку с графика

Берём координаты именно подписанного узла сетки: абсцисса записывается первой, ордината — второй. На графике ФИПИ 196238 отмечена точка (2; -1), поэтому log_a(2) = -1.

(2;-1)\in G_f

f(x)=\log_{\frac{1}{2}}x

Шаг 2. Находим неизвестный коэффициент

Подставляем обе координаты в указанный в условии вид функции и из полученного равенства находим параметр. Перепишем равенство в показательной форме: a^-1 = 2. Отсюда основание a = 1/2.

\log_a 2=-1\Longleftrightarrow a^{-1}=2

f(x)=\log_{\frac{1}{2}}x

Шаг 3. Проверяем область допустимых значений

До деления, умножения на переменную или вычисления корня фиксируем ОДЗ; недопустимые значения дальше не рассматриваем. ОДЗ логарифма выполнено: 16 > 0; найденное основание положительно и не равно 1.

\log_a 2=-1\Longleftrightarrow a^{-1}=2

16>0

Шаг 4. Подставляем требуемый аргумент

Теперь формула функции полностью известна. Вместо x ставим число, указанное внутри f(x) в вопросе. Подставим основание: f(16) = log_(1/2)(16).

f(16)=\log_{\frac{1}{2}}(16)

Шаг 5. Выполняем точное вычисление

Считаем без округлений: степени, корни и дроби сохраняем в точном виде до последнего действия. Представим 16 как степень основания 1/2: (1/2)^(-4) = 16.

f(16)=-4

Шаг 6. Проверяем формулу и записываем ответ

Возвращаем в найденную формулу контрольную точку с рисунка и убеждаемся, что получается её ордината. Проверка по определению логарифма подтверждает показатель -4. Ответ: -4.

f(x)=\log_{\frac{1}{2}}x,\qquad \boxed{-4}

\boxed{-4}

Проверка подстановкой обязательна: она одновременно контролирует считанные с графика коэффициенты, вычисления и выбор нужной точки.

Ответ:

-4

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Определение логарифма
Координаты отмеченной точки дают одно точное логарифмическое равенство. Переводим его в показательную форму, находим основание и только после этого вычисляем требуемый логарифм.
$\log_a b=c\Longleftrightarrow a^c=b,\qquad a>0,\ a\ne1,\ b>0$
Точная модель карточки 196238
Все коэффициенты берутся из отмеченных узлов оригинального графика 196238; для вычислений используется восстановленная формула, а не примерное положение кривой.
$f(x)=\log_{\frac{1}{2}}x$
Критерий ответа и проверка
После подстановки аргумента 16 функция должна дать -4; затем формулу проверяем по исходной точке.
$f(x)=\log_{\frac{1}{2}}x,\qquad \boxed{-4}$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Перепутать направление перехода к степени
Из logₐb = c следует aᶜ = b; основание и аргумент менять местами нельзя. В карточке 196238 это правило применяется до числового ответа.
$\log_a b=c\Longleftrightarrow a^c=b$
Считать координаты по пикселям
Используем только подписанные целые узлы координатной сетки и точные пересечения. Абсцисса стоит первой, ордината — второй.
$(2;-1)$
Ответить не на тот вопрос
Нужно найти значение функции при x = 16, а не коэффициент функции. Для 196238 итог равен -4.
$\boxed{-4}$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Координаты прочитаны в правильном порядке
Сверьте использованные точки с оригинальным рисунком ФИПИ 196238; первая координата — x, вторая — y.
$x_0=2,\qquad y_0=-1$
Формула и ОДЗ проверены
Подставьте контрольную точку в восстановленную функцию и убедитесь, что знаменатель не равен нулю, а подкоренное выражение или аргумент логарифма допустимы.
$\log_a 2=-1\Longleftrightarrow a^{-1}=2$
Получен именно требуемый результат
Подставьте x = 16 и повторите последнее арифметическое действие без округления.
$f(x)=\log_{\frac{1}{2}}x,\qquad \boxed{-4},\qquad \boxed{-4}$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №12Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

На рисунке изображён график функции вида f(x) = loga​(x). Найдите значение f(16).