Задание 3 из 58Графики функций

Линия №12 · Повышенный уровень

На рисунке изображён график функции вида $f$ ( $x$ ) = $a$ $^{x}$ . Найдите значение $f$ (-3).

График функций для задания 12 ЕГЭ по профильной математике, ФИПИ F469FF — Оригинальная запись формул из условия задания №12 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: F469FF

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 64

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Это графическая задача ФИПИ F469FF. Здесь не нужно измерять кривую линейкой: использовать отмеченную точку (-1; 4), затем восстановить точную формулу функции и вычислить её при x = -3. Все числа берём только из подписанных узлов координатной сетки.

Ключевая идея:

использовать отмеченную точку (-1; 4), затем восстановить точную формулу функции и вычислить её при x = -3. Для этой карточки ключевое равенство записано отдельно ниже.

a^{-1}=4

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно этот график: точно считаем отмеченные координаты, восстанавливаем формулу, выполняем подстановку или решаем уравнение пересечения, а затем обязательно проверяем результат на исходном рисунке.

Дано с графика:

f(x)=\left(\frac{1}{4}\right)^{x}

P_1=(-1;4)

a^{-1}=4

Нужно найти: точное значение f(-3); коэффициент функции является только промежуточным результатом.

План решения: использовать отмеченную точку (-1; 4), затем восстановить точную формулу функции и вычислить её при x = -3. Для этой карточки ключевое равенство записано отдельно ниже.

Показательная функция

f(x)=a^x,\qquad a>0,\ a\ne1

Если точка (x₀; y₀) лежит на графике y = aˣ, то y₀ = aˣ⁰. Это равенство точно определяет основание a без измерения кривой по пикселям.

Шаг 1. Считаем отмеченную точку с графика

Берём координаты именно подписанного узла сетки: абсцисса записывается первой, ордината — второй. Считываем с графика карточки F469FF: точка (-1; 4) принадлежит y = a^x.

(-1;4)\in G_f

f(x)=\left(\frac{1}{4}\right)^{x}

Шаг 2. Находим неизвестный коэффициент

Подставляем обе координаты в указанный в условии вид функции и из полученного равенства находим параметр. Подстановка координат даёт a^(-1) = 4, поэтому a = 1/4.

a^{-1}=4

f(x)=\left(\frac{1}{4}\right)^{x}

Шаг 3. Проверяем область допустимых значений

До деления, умножения на переменную или вычисления корня фиксируем ОДЗ; недопустимые значения дальше не рассматриваем. Для показательной функции ОДЗ — все действительные x; основание 1/4 > 0 и не равно 1.

a^{-1}=4

a>0,\qquad a\ne1

Шаг 4. Подставляем требуемый аргумент

Теперь формула функции полностью известна. Вместо x ставим число, указанное внутри f(x) в вопросе. Искомое значение равно f(-3) = (1/4)^(-3).

f(-3)=\left(\frac{1}{4}\right)^{(-3)}

Шаг 5. Выполняем точное вычисление

Считаем без округлений: степени, корни и дроби сохраняем в точном виде до последнего действия. Вычисляем степень точно, не заменяя дробь десятичным приближением: получаем 64.

f(-3)=64

Шаг 6. Проверяем формулу и записываем ответ

Возвращаем в найденную формулу контрольную точку с рисунка и убеждаемся, что получается её ордината. Проверка: при x = -1 формула снова даёт y = 4, как на рисунке. Ответ: 64.

f(x)=\left(\frac{1}{4}\right)^{x},\qquad \boxed{64}

\boxed{64}

Проверка подстановкой обязательна: она одновременно контролирует считанные с графика коэффициенты, вычисления и выбор нужной точки.

Ответ:

64

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Показательная функция
Если точка (x₀; y₀) лежит на графике y = aˣ, то y₀ = aˣ⁰. Это равенство точно определяет основание a без измерения кривой по пикселям.
$f(x)=a^x,\qquad a>0,\ a\ne1$
Точная модель карточки F469FF
Все коэффициенты берутся из отмеченных узлов оригинального графика F469FF; для вычислений используется восстановленная формула, а не примерное положение кривой.
$f(x)=\left(\frac{1}{4}\right)^{x}$
Критерий ответа и проверка
После подстановки аргумента -3 функция должна дать 64; затем формулу проверяем по исходной точке.
$f(x)=\left(\frac{1}{4}\right)^{x},\qquad \boxed{64}$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Неверно обработать отрицательную степень
Для отрицательного показателя основание переходит в знаменатель; двойной минус в показателе даёт обратную степень. В карточке F469FF это правило применяется до числового ответа.
$a^{-n}=\frac1{a^n}$
Считать координаты по пикселям
Используем только подписанные целые узлы координатной сетки и точные пересечения. Абсцисса стоит первой, ордината — второй.
$(-1;4)$
Ответить не на тот вопрос
Нужно найти значение функции при x = -3, а не коэффициент функции. Для F469FF итог равен 64.
$\boxed{64}$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Координаты прочитаны в правильном порядке
Сверьте использованные точки с оригинальным рисунком ФИПИ F469FF; первая координата — x, вторая — y.
$x_0=-1,\qquad y_0=4$
Формула и ОДЗ проверены
Подставьте контрольную точку в восстановленную функцию и убедитесь, что знаменатель не равен нулю, а подкоренное выражение или аргумент логарифма допустимы.
$a^{-1}=4$
Получен именно требуемый результат
Подставьте x = -3 и повторите последнее арифметическое действие без округления.
$f(x)=\left(\frac{1}{4}\right)^{x},\qquad \boxed{64},\qquad \boxed{64}$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №12Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

На рисунке изображён график функции вида f(x) = ax. Найдите значение f(-3).