Задание 3 из 67Уравнения смешанного типа

Линия №14 · Повышенный уровень

а) Решите уравнение $8 \cdot 16^{s i n^{2} x} - 2 \cdot 4^{c o s 2 x} = 63$ . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{7 π}{2}; 5 π]$ .

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 617B18

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Решение задания ФИПИ 617B18 оформлено в формате второй части ЕГЭ: сначала получаем все корни, затем отдельно и без десятичных приближений отбираем корни на заданном отрезке.

Ключевая идея: Сделать допустимую замену, решить получившееся алгебраическое уравнение, вернуться к тригонометрической переменной и выполнить точный отбор корней..

Пошаговый разбор

Понятное решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Пример решения №1

Решение

а) Воспользуемся формулой косинуса двойного угла:

Тогда наше уравнение примет вид:

sin2x 1−2sin2x
8 ⋅16 − 2 ⋅4 = 63
8⋅16sin2x − 2 ⋅4⋅16− sin2x = 63

8⋅16sin2x− ---82- =63
16sin x

Сделаем замену 16sin2x =t, t >0. Получим:

8t− 8 = 63 |⋅t> 0
t
8t2− 8= 63t
2
8t − 63t− 8= 0
D =3969+ 4⋅64= 4225
63± 65
t= --16--
⌊
⌈t= 8
t= − 1
8

Корень t =− 1 <0
8 не подходит. Сделаем обратную замену:

sin2x
16 = 8
24sin2x = 23

4sin2x = 3
sin2x = 3
4
√3-
sin x= ± 2
⌊x= ± π-+2πk, k ∈ℤ
| 3
⌈x= ± 2π+ 2πk, k ∈ℤ
3

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку [7π ]
2 ;5π , концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

51711π4π31πππ
3233

Следовательно, на отрезке [7π ]
2 ;5π лежат точки 11π-
3 ; 13π-
3 ; 14π
3 .

Ответ:

а) ± π+ 2πk, ±2π +2πk, k ∈ ℤ
3 3

б) 11π; 13π; 14π-
3 3 3

Пример решения №2

Решение

а) Воспользуемся формулой для косинуса двойного угла и преобразуем уравнение:

8 \cdot 16^{\sin^2 x} - 2 \cdot 4^{1 - 2\sin^2 x} = 63;

8 \cdot 16^{\sin^2 x} - 2\cdot \dfrac{4}{4^{2\sin^2 x}} = 63;

8 \cdot 16^{\sin^2 x} - \dfrac{8}{16^{\sin^2 x}} = 63.

Сделаем замену

t = 4^{2\sin^2 x} > 0

8t - \frac{8}{t} = 63.

Умножим обе части уравнения на

t > 0

8t^2 - 8 = 63t;

8t^2 - 63t - 8 = 0.

Решим полученное квадратное уравнение:

\sqrt{D} = \sqrt{63^2 + 4 \cdot 8 \cdot 8} = \sqrt{3969 + 256} = \sqrt{4225} = 65;

t_{1, 2} = \frac{63 \pm 65}{16}.

Получаем:

t_1 = \frac{128}{16} = 8,\quad t_2 = \frac{-2}{16} = -\frac{1}{8} < 0 \text{ -- не подходит}.

Сделаем обратную замену:

4^{2\sin^2 x} = 8;

2^{4\sin^2 x} = 2^3;

4\sin^2 x = 3;

\sin^2 x = \frac{3}{4};

\sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}.

Получаем:

\left[ \begin{array}{l} x = \pm \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k,\\[3mm] x = \pm \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}. \end{array} \right.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку

\left[\dfrac{7\pi}{2}; 5\pi\right]

, с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё. <div style="text-align:center;margin:16px 0;">

</div> На отрезок попали следующие корни:

\frac{11\pi}{3},\ \frac{13\pi}{3},\ \frac{14\pi}{3}.

Ответ: а)

\pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k,\ \pm\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}

; б)

\dfrac{11\pi}{3},\ \dfrac{13\pi}{3},\ \dfrac{14\pi}{3}

Ответ: а)

\pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k,\ \pm\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}

; б)

\dfrac{11\pi}{3},\ \dfrac{13\pi}{3},\ \dfrac{14\pi}{3}

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Формулы приведения и основные тригонометрические тождества
Решение простейших тригонометрических уравнений
Отбор корней на отрезке без округления границ

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Потерять корни при делении на sin x или cos x вместо разложения на множители.
Не учесть область допустимых значений логарифма, корня или знаменателя.
Сразу подбирать корни на отрезке, не записав полное решение пункта а).

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Преобразования равносильны и все ограничения записаны?
2В пункте а) перечислены все серии корней с k ∈ Z?
3Каждая серия проверена по обеим границам отрезка из пункта б)?

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №14Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

а) Решите уравнение 8⋅16sin2x−2⋅4cos2x=63. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [27π​;5π].