Задание 29 из 67Тригонометрические уравнения

Линия №14 · Повышенный уровень

а) Решите уравнение $2 sin (2 x + \frac{π}{6}) - cos x = 3 sin 2 x - 1$ . б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{5 π}{2}; 4 π]$ .

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: B8F61F

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Решение задания ФИПИ B8F61F оформлено в формате второй части ЕГЭ: сначала получаем все корни, затем отдельно и без десятичных приближений отбираем корни на заданном отрезке.

Ключевая идея: Привести выражение к произведению простых тригонометрических множителей, выписать общие серии корней и только после этого выполнить отбор на отрезке..

Пошаговый разбор

Понятное решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Пример решения №1

Решение

а) Используя формулу для синусы суммы, преобразуем данное уравнение:

( π- π- ) √ -
2⋅ sin 2x⋅cos6 + sin 6 ⋅cos2x − cosx= 3sin2x − 1
√3-sin2x +cos2x− cosx= √3-sin2x− 1

cos2x − cosx +1 = 0

По формуле косинуса двойного угла:

2
2cosx − 1− cosx +1 = 0
2cos2x − cosx = 0

cosx ⋅(2cosx− 1)= 0
⌊
|cosx= 0
⌈ 1
cosx= 2
⌊x = π+ πk, k ∈ ℤ
| 2
⌈x = ±π-+ 2πk, k ∈ ℤ
3

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку [5π ]
-2 ;4π , концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

54571π2ππ2π213π

Следовательно, на отрезке [ ]
5π-;4π
2 лежат точки 5π;
2 7π;
2 11π-.
3

Ответ:

а) π+ πk; ± π-+ 2πk, k ∈ ℤ
2 3

б) 5π; 7π; 11π
2 2 3

Пример решения №2

Решение

а) Воспользуемся формулой синуса суммы:

\sin \left( 2x + \frac{\pi}{6} \right) = \sin 2x \cos \frac{\pi}{6} + \cos 2x \sin \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2x + \frac{1}{2} \cos 2x.

Получаем:

2\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2x + \frac{1}{2} \cos 2x \right) - \cos x = \sqrt{3} \sin 2x - 1;

\sqrt{3} \sin 2x + \cos 2x - \cos x = \sqrt{3} \sin 2x - 1;

\cos 2x - \cos x = -1.

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла:

2\cos^2 x - 1 - \cos x = -1;

2\cos^2 x - \cos x = 0;

\cos x (2\cos x - 1) = 0.

Получаем:

\left[ \begin{array}{l} \cos x = 0,\\ 2\cos x - 1 = 0. \end{array} \right. \;\Leftrightarrow\; \left[ \begin{array}{l} \cos x = 0,\\ \cos x = \dfrac{1}{2}. \end{array} \right.\;\Leftrightarrow\; \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k,\\[2mm] x = \pm \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}.\\ \end{array} \right.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку

\left[\dfrac{5\pi}{2}; 4\pi\right]

, с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё. <div style="text-align:center;margin:16px 0;">

</div> На отрезок попали следующие корни:

\frac{5\pi}{2},\ \frac{7\pi}{2}, \ \frac{11\pi}{3}.

Ответ: а)

\dfrac{\pi}{2} + \pi k,\ \pm \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}

; б)

\dfrac{5\pi}{2},\ \dfrac{7\pi}{2}, \ \dfrac{11\pi}{3}

Ответ: а)

\dfrac{\pi}{2} + \pi k,\ \pm \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}

; б)

\dfrac{5\pi}{2},\ \dfrac{7\pi}{2}, \ \dfrac{11\pi}{3}

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Формулы приведения и основные тригонометрические тождества
Решение простейших тригонометрических уравнений
Отбор корней на отрезке без округления границ

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Потерять корни при делении на sin x или cos x вместо разложения на множители.
Не учесть область допустимых значений логарифма, корня или знаменателя.
Сразу подбирать корни на отрезке, не записав полное решение пункта а).

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Преобразования равносильны и все ограничения записаны?
2В пункте а) перечислены все серии корней с k ∈ Z?
3Каждая серия проверена по обеим границам отрезка из пункта б)?

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №14Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

а) Решите уравнение 2sin(2x+6π​)−cosx=3​sin2x−1. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [25π​;4π].