Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!↪ВойтиЧерез VK ID

Меню

Задание 64 из 67Тригонометрические уравнения

Линия №14 · Повышенный уровень

а) Решите уравнение $cos^{2} x + sin^{2} (x - \frac{π}{4}) = \frac{1}{2} .$ б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[5 π; 6 π] .$

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: C19C6E

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Решение задания ФИПИ C19C6E оформлено в формате второй части ЕГЭ: сначала получаем все корни, затем отдельно и без десятичных приближений отбираем корни на заданном отрезке.

Ключевая идея: Привести выражение к произведению простых тригонометрических множителей, выписать общие серии корней и только после этого выполнить отбор на отрезке..

Пошаговый разбор

Понятное решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Пример решения №1

Решение

a) Воспользуемся формулой синуса разности:

( π-) π- π-
sin x− 4 = sin x⋅cos 4 − cosx⋅sin 4 =
√2 √2 √2
= -2-sinx − 2-cosx = 2--⋅(sin x− cosx).

Тогда наше уравнение примет вид:

cos2x + sin2(x− π-)= 1
4 2
(√2 )2 1
cos2x + -2-⋅(sinx− cosx) = 2

cos2x + 1(sin2x − 2sinx⋅cosx+ cos2x) = 1.
2 2

Поскольку по ОТТ имеем sin2x+ cos2x = 1, то получим:

cos2x + 1⋅(1− 2sinx ⋅cosx)= 1
2 2
2 cos2x+ 1− 2sinx⋅cosx= 1
2cos2x − 2sinx⋅cos= 0

2co⌊sx(cosx− sin x)= 0
cosx= 0
⌈cosx− sin x= 0

Заметим, что второе равенство не обращается в верное при cosx =0 , а значит, на cosx можно разделить:

⌊
⌈cosx =0
tgx = 1
⌊ π-
⌈x = 2 +πk, k ∈ ℤ
x = π-+πk, k ∈ ℤ
4

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку [5π;6π], концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

2111ππ
56ππ42

Следовательно, на отрезке [5π;6π] лежат точки 21π;
4 11π .
2

Ответ:

а) π+ πk; π+ πk, k ∈ℤ
2 4

б) 21π; 11π
4 2

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Формулы приведения и основные тригонометрические тождества
Решение простейших тригонометрических уравнений
Отбор корней на отрезке без округления границ

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Потерять корни при делении на sin x или cos x вместо разложения на множители.
Не учесть область допустимых значений логарифма, корня или знаменателя.
Сразу подбирать корни на отрезке, не записав полное решение пункта а).

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Преобразования равносильны и все ограничения записаны?
2В пункте а) перечислены все серии корней с k ∈ Z?
3Каждая серия проверена по обеим границам отрезка из пункта б)?

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №14

Все задания линии №14 →

Тригонометрические уравненияа) Решите уравнение sin 2x + $2$ $cos (x + π)$ = 0. б) Укажите корни на отрезке [3π; $\frac{9 π}{2}$ ].FIPI ID A1A34D Тригонометрические уравненияа) Решите уравнение cos 2x + $cos (- x)$ = 0. б) Укажите корни на отрезке [− $\frac{7 π}{2}$ ; −2π].FIPI ID 0448F1 Тригонометрические уравненияа) Решите уравнение 2 $sin (x - \frac{π}{4})$ + 2 $2$ $cos (\frac{π}{2} + x)$ = 0. б) Найдите все корни на отрезке…FIPI ID 5E5CF2 Тригонометрические уравненияа) Решите уравнение sin 2x + 2 $2$ $cos (x - \frac{π}{4})$ + 1 = 0. б) Найдите все корни на отрезке…FIPI ID 913EF3 Тригонометрические уравненияа) Решите уравнение 2 $sin (x + \frac{π}{6})$ − 2 $3$ cos $^{2}$ x = cos x − 2 $3$ . б) Укажите корни на отрезке…FIPI ID 6671FD Тригонометрические уравненияа) Решите уравнение cos 2x + $3$ $sin (\frac{π}{2} + x)$ + 1 = 0. б) Укажите корни на отрезке [−3π…FIPI ID 8413F6

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №14Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена