Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!↪ВойтиЧерез VK ID

Меню

Задание 7 из 67Показательные уравнения

Линия №14 · Повышенный уровень

а) Решите уравнение $8^{x} - 3 \cdot 2^{x + 2} + 2^{5 - x} = 0$ . б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[lo g_{4} 5; 3]$ .

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: F22045

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Решение задания ФИПИ F22045 оформлено в формате второй части ЕГЭ: сначала получаем все корни, затем отдельно и без десятичных приближений отбираем корни на заданном отрезке.

Ключевая идея: Сделать допустимую замену, решить получившееся алгебраическое уравнение, вернуться к тригонометрической переменной и выполнить точный отбор корней..

Пошаговый разбор

Понятное решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Пример решения №1

Решение

а) Запишем слагаемые левой части исходного уравнения в виде:

8x = (23)x = 23⋅x = (2x)3,
x+2 x 2
2 = 2 ⋅2,
25− x = 25.
2x

Тогда после замены 2x = t> 0, уравнение примет вид:

5
t3− 3⋅22⋅t+ 2-= 0|⋅t> 0
t
t4− 3⋅22⋅t2+ 25 = 0

Данное уравнение является биквадратным и решается как квадратное относительно 2
t. Найдем дискриминант:

( )
D = 3⋅222 − 4 ⋅25 = 9⋅24− 8⋅24 =
= 24(9− 8)= 24 = 42.

Найдем корни:

[
2 12± 4 t2 = 8
t = --2-- ⇒ t2 = 4

Тогда с учетом t> 0 получаем решения:

[t= 2√2

t= 2

Сделаем обратную замену:

[ x √-
2 = 2 2
2x = 2
[2x = 232
2x = 21
⌊
x = 3
⌈ 2
x =1

б) Отберем корни. Так как f(x)= log x
4 — возрастающая функция, то чем больше тем больше и значение функции f(x). Тогда имеем:

1) Сравним и log45:

1 ∨ log45
log44 ∨ log45
4 < 5

Таким образом, корень x = 1 не входит в промежуток.

2) Сравним 3
3 =log442
2 с log45:

log 432 ∨ log 5
4 3 4
log4 2 ∨ log45
log48 ∨ log45
8> 5

Сравним 3
2 с √-
3 :

3 √ -
2 ∨ 3
(3)2 ( √-)2
2 ∨ 3
9
4 ∨ 3|⋅4

9 < 12

Итого справедливо двойное неравенство: log 5< 3 < √3.
4 2 Значит, в исходный промежуток входит корень 3
x= 2.

Ответ:

а) 1; 3
2

б) 3
2

Пример решения №2

Решение

а) Приведём все степени к основанию 2:

8^x = 2^{3x},\quad 2^{x+2} = 4 \cdot 2^x,\quad 2^{5-x} = 32 \cdot 2^{-x}.

Уравнение принимает вид:

2^{3x} - 12 \cdot 2^x + 32 \cdot 2^{-x} = 0.

Умножим обе части на

2^x > 0

:

2^{4x} - 12 \cdot 2^{2x} + 32 = 0.

Сделаем замену

2^{2x} = t > 0

:

t^2 - 12t + 32 = 0.

С помощью теоремы Виета находим корни этого квадратного уравнения:

\left[ \begin{array}{l} t = 4,\\ t = 8. \end{array} \right.

Сделаем обратную замену:

\left[ \begin{array}{l} 2^{2x} = 4,\\ 2^{2x} = 8. \end{array} \right. \Leftrightarrow\; \left[ \begin{array}{l} 2^{2x} = 2^2,\\ 2^{2x} = 2^3. \end{array} \right. \Leftrightarrow\; \left[ \begin{array}{l} 2x = 2,\\ 2x = 3. \end{array} \right. \Leftrightarrow\; \left[ \begin{array}{l} x = 1,\\ x = 1{,}5. \end{array} \right.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку

\left[\log_4 5; \sqrt{3}\right]

. 1) Заметим, что

1 < \sqrt{3}

. Сравним

1

и

\log_4 {5}

:

1 = \log_4 4 < \log_4 5,

следовательно,

1

не входит в отрезок

\left[\log_4 5; \sqrt{3}\right]

. 2) Сравним

1{,}5

и

\log_4 5

:

1{,}5 = \log_4 8 > \log_4 5.

Сравним

1{,}5 = \dfrac{3}{2}

и

\sqrt{3}

:

1{,}5 \vee \sqrt{3};

\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \vee 3;

\dfrac{9}{4} \vee 3;

9 < 12.

Таким образом,

1{,}5 < \sqrt{3}

, значит,

1{,}5 \in \left[\log_4 5; \sqrt{3}\right]

.

Ответ:

\text{a) } 1; \; 1,5. \quad \text{б) } 1,5

.

Ответ: a)

1

;

1.5

б)

1.5

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Формулы приведения и основные тригонометрические тождества
Решение простейших тригонометрических уравнений
Отбор корней на отрезке без округления границ

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Потерять корни при делении на sin x или cos x вместо разложения на множители.
Не учесть область допустимых значений логарифма, корня или знаменателя.
Сразу подбирать корни на отрезке, не записав полное решение пункта а).

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Преобразования равносильны и все ограничения записаны?
2В пункте а) перечислены все серии корней с k ∈ Z?
3Каждая серия проверена по обеим границам отрезка из пункта б)?

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №14

Все задания линии №14 →

Показательные уравненияа) Решите уравнение 8 $^{x}$ − 9 · 2 $^{x + 1}$ + 2 $^{5 - x}$ = 0. б) Укажите корни на отрезке [ $lo g_{5} 2$ …FIPI ID EE74FD Показательные уравненияа) Решите уравнение 27 $^{x}$ − 4 · 3 $^{x + 2}$ + 3 $^{5 - x}$ = 0. б) Укажите корни на отрезке…FIPI ID D1D574 Показательные уравненияа) Решите уравнение 27 $^{x}$ − 28 · 3 $^{x + 1}$ + 3 $^{5 - x}$ = 0. б) Укажите корни на отрезке [ $3$ …FIPI ID 0BD320 Уравнения смешанного типаа) Решите уравнение (9 $^{s i n 2 x}$ − 3 $^{22 s i n x}$ )/ $11 sin x$ = 0. б) Найдите все корни на…FIPI ID FDA042 Уравнения смешанного типаа) Решите уравнение $\frac{l o g _{2}^{2} ( s i n x ) + l o g _{2} ( s i n x )}{2 cos x + 3}$ = 0. б) Найдите все корни на…FIPI ID 638272 Уравнения смешанного типаа) Решите уравнение 8 · 16 $^{s i n^{2} x}$ − 2 · 4 $^{c o s 2 x}$ = 63. б) Найдите все корни на отрезке…FIPI ID 617B18

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №14Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена