Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!↪ВойтиЧерез VK ID

Меню

Задание 20 из 67Показательные уравнения

Линия №14 · Повышенный уровень

а) Решите уравнение $27^{x} - 4 \cdot 3^{x + 2} + 3^{5 - x} = 0$ . б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[lo g_{7} 4; lo g_{7} 16]$ .

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: D1D574

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Решение задания ФИПИ D1D574 оформлено в формате второй части ЕГЭ: сначала получаем все корни, затем отдельно и без десятичных приближений отбираем корни на заданном отрезке.

Ключевая идея: Сделать допустимую замену, решить получившееся алгебраическое уравнение, вернуться к тригонометрической переменной и выполнить точный отбор корней..

Пошаговый разбор

Понятное решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Пример решения №1

Решение

а) Запишем слагаемые левой части исходного уравнения в виде:

27x =(33)x = 33⋅x = (3x)3,
x+2 x 2
3 = 3 ⋅3,
35− x = 35.
3x

Тогда после замены 3x = t> 0, уравнение примет вид:

5
t3− 4⋅32⋅t+ 3-= 0|⋅t> 0
t
t4− 4⋅32⋅t2+ 35 = 0

Данное уравнение является биквадратным и решается как квадратное относительно 2
t. Найдем дискриминант:

( )
D = 4⋅32 2− 4⋅35 = 24⋅34− 22 ⋅35 =
= 22⋅34(22 − 3)= 22⋅34.

Найдем корни:

[
2 4 ⋅32 ±2 ⋅32 t2 = 27
t = -----2---- ⇒ t2 = 9

Тогда с учетом t> 0 получаем решения:

[t= 3√3

t= 3

Сделаем обратную замену:

[ x √-
3 = 3 3
3x = 3
[3x = 332
3x = 31
⌊
x = 3
⌈ 2
x =1

б) Так как f(x)= log x
7 — возрастающая функция, то чем больше тем больше f(x).

1) Сравним 1 с числами log74 и log716 :

log74< log77 = 1< log716

Значит, x= 1 лежит в отрезке [log74;log716].

2) Представим 3
x = 2 в виде логарифма:

3 = 3log 7= log 732 = log 7√7
2 2 7 7 7

Сравним 7√7 с числом 16:

√ -
7 7 ∨ 16
(7√7)2 ∨ 162

343 > 256

Таким образом, имеем

√ -
7 7> 16
log7(7√7-)> log716

Тогда корень x = 3
2 не входит в отрезок [log74;log716].

Ответ:

а) 3
1;2

б)

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Формулы приведения и основные тригонометрические тождества
Решение простейших тригонометрических уравнений
Отбор корней на отрезке без округления границ

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Потерять корни при делении на sin x или cos x вместо разложения на множители.
Не учесть область допустимых значений логарифма, корня или знаменателя.
Сразу подбирать корни на отрезке, не записав полное решение пункта а).

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Преобразования равносильны и все ограничения записаны?
2В пункте а) перечислены все серии корней с k ∈ Z?
3Каждая серия проверена по обеим границам отрезка из пункта б)?

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №14

Все задания линии №14 →

Показательные уравненияа) Решите уравнение 8 $^{x}$ − 3 · 2 $^{x + 2}$ + 2 $^{5 - x}$ = 0. б) Укажите корни на отрезке [ $lo g_{4} 5$ …FIPI ID F22045 Показательные уравненияа) Решите уравнение 8 $^{x}$ − 9 · 2 $^{x + 1}$ + 2 $^{5 - x}$ = 0. б) Укажите корни на отрезке [ $lo g_{5} 2$ …FIPI ID EE74FD Показательные уравненияа) Решите уравнение 27 $^{x}$ − 28 · 3 $^{x + 1}$ + 3 $^{5 - x}$ = 0. б) Укажите корни на отрезке [ $3$ …FIPI ID 0BD320 Уравнения смешанного типаа) Решите уравнение (9 $^{s i n 2 x}$ − 3 $^{22 s i n x}$ )/ $11 sin x$ = 0. б) Найдите все корни на…FIPI ID FDA042 Уравнения смешанного типаа) Решите уравнение $\frac{l o g _{2}^{2} ( s i n x ) + l o g _{2} ( s i n x )}{2 cos x + 3}$ = 0. б) Найдите все корни на…FIPI ID 638272 Уравнения смешанного типаа) Решите уравнение 8 · 16 $^{s i n^{2} x}$ − 2 · 4 $^{c o s 2 x}$ = 63. б) Найдите все корни на отрезке…FIPI ID 617B18

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №14Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена