Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
Задание 40 из 67Тригонометрические уравнения
Линия №14

а) Решите уравнение б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 1D3525

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Решение задания ФИПИ 1D3525 оформлено в формате второй части ЕГЭ: сначала получаем все корни, затем отдельно и без десятичных приближений отбираем корни на заданном отрезке.

Ключевая идея: Привести выражение к произведению простых тригонометрических множителей, выписать общие серии корней и только после этого выполнить отбор на отрезке..
Пошаговый разбор

Понятное решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ
Пример решения №1

Решение

a) Запишем исходное уравнение в виде:

2sin x⋅cosx− 2sinx +cosx− 1 =0 (co⌊sx − 1)(2sinx + 1) =0 cosx= 1 ⌈ 1 sinx = −2 ⌊x= 2πk, k ∈ℤ | π ||x= − 6-+2πk, k ∈ℤ ⌈ 5π x= − 6 + 2πk, k ∈ℤ

б) Способ 1

Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку [ 7π ] 2π; 2 , концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

71π9π 22π6-

Следовательно, на отрезке [ 7π] 2π;-2 лежат точки 19π 2π, -6-.

Способ 2

Определим, какие корни в каждой из серий решений принадлежат отрезку [ ] 2π; 7π . 2

  • Пусть x =2πk, k ∈ ℤ. Тогда

    2π ≤ 2πk ≤ 7π ⇔ 1≤ k ≤ 7 ⇒k∈ℤ k = 1 2 4

    Значит, x = 2π⋅1= 2π.

  • Пусть x =− π-+2πk, k ∈ ℤ. 6 Тогда

    2π ≤ − π+ 2πk ≤ 7π 6 2 12 ≤ −1+ 12k ≤ 21 13≤ 12k ≤ 22

    Такого целого k не существует.

  • Пусть 5π x =− -6 +2πk, k ∈ℤ. Тогда

    5π 7π 2π ≤ − 6 +2πk ≤ 2 12 ≤ −5+ 12k ≤ 21 17 ≤ 12k ≤ 26 k⇒∈ℤ k = 2

    Значит, x = − 5π + 2π⋅2= 19π. 6 6

Значит, на отрезке [ ] 2π; 7π 2 лежат только корни x= 2π и x = 19π. 6

Ответ:

а) π- 5π 2πk; −6 + 2πk; − 6 + 2πk, k ∈ℤ

б) 2π; 19π- 6

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач
  • Формулы приведения и основные тригонометрические тождества
  • Решение простейших тригонометрических уравнений
  • Отбор корней на отрезке без округления границ
Открыть теорию по математике →
Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом
  • Потерять корни при делении на sin x или cos x вместо разложения на множители.
  • Не учесть область допустимых значений логарифма, корня или знаменателя.
  • Сразу подбирать корни на отрезке, не записав полное решение пункта а).
Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом
  1. 1
    Преобразования равносильны и все ограничения записаны?
  2. 2
    В пункте а) перечислены все серии корней с k ∈ Z?
  3. 3
    Каждая серия проверена по обеим границам отрезка из пункта б)?
Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №14
Все задания линии №14 →
Тригонометрические уравненияа) Решите уравнение sin 2x + = 0. б) Укажите корни на отрезке [3π; ].FIPI ID A1A34DТригонометрические уравненияа) Решите уравнение cos 2x + = 0. б) Укажите корни на отрезке [−; −2π].FIPI ID 0448F1Тригонометрические уравненияа) Решите уравнение 2 + 2 = 0. б) Найдите все корни на отрезке…FIPI ID 5E5CF2Тригонометрические уравненияа) Решите уравнение sin 2x + 2 + 1 = 0. б) Найдите все корни на отрезке…FIPI ID 913EF3Тригонометрические уравненияа) Решите уравнение 2 − 2 cos x = cos x − 2. б) Укажите корни на отрезке…FIPI ID 6671FDТригонометрические уравненияа) Решите уравнение cos 2x + + 1 = 0. б) Укажите корни на отрезке [−3π…FIPI ID 8413F6
Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ
Все задания линии №14Перейти к списку и выбрать следующую задачуБанк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭКонструктор вариантаСобрать тренировочный вариантПробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена