а) Решите уравнение $\sin 2x+2\sqrt{2}\cos (x-\frac{\pi }{4})+1=0.$ б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-\frac{15\pi }{2};-6\pi ].$

а) Решение уравнения

Найдём все корни уравнения. Каждую замену и преобразование выполняем равносильно; ограничения записываем до деления или сокращения.

1. Обозначим u = sin x + cos x. Тогда sin 2x = u${}^2$ − 1 и 2$\sqrt{2}$ $\cos (x-\frac{\pi }{4})$ = 2u.

2. Уравнение принимает вид u${}^2$ − 1 + 2u + 1 = 0, то есть u(u + 2) = 0.

3. Значение u = −2 невозможно, потому что |sin x + cos x| ≤ $\sqrt{2}$. Поэтому u = 0.

4. sin x + cos x = 0, откуда x = −$\frac{\pi }{4}$ + πk, k ∈ Z.