Задание 41 из 67Тригонометрические уравнения

Линия №14 · Повышенный уровень

а) Решите уравнение $3 tg^{2} x - 4 tg x + 3 = 0$ . б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[π; \frac{5 π}{2}]$ .

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: E4EA28

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Решение задания ФИПИ E4EA28 оформлено в формате второй части ЕГЭ: сначала получаем все корни, затем отдельно и без десятичных приближений отбираем корни на заданном отрезке.

Ключевая идея: Привести выражение к произведению простых тригонометрических множителей, выписать общие серии корней и только после этого выполнить отбор на отрезке..

Пошаговый разбор

Понятное решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Пример решения №1

Решение

a) Сделаем замену t= tgx . Тогда перед нами квадратное уравнение относительно t:

√3t2− 4t+ √3-= 0
2 √- 2
D = 4 − 4⋅( 3) = 4
⌊ √-
4± 2 | t= -3-
t = 2√3- ⇒ ⌈ 3√-
t= 3

Сделаем обратную замену:

⌊ √-
tgx = -3-
⌈ √3
tgx = 3
⌊x = π-+πk, k ∈ ℤ
|⌈ 6
x = π-+πk, k ∈ ℤ
3

б)Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку [ ]
5π
π;2 , концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

π57417πππ3ππ
26363

Следовательно, на отрезке [ 5π]
π; 2 лежат точки 7π 4π 13π 7π
6 ; 3 ; 6 ; 3 .

Ответ:

а) π+ πk; π+ πk, k ∈ℤ
6 3

б) 7π; 4π; 13π; 7π-
6 3 6 3

Пример решения №2

Решение

а) Сделаем замену

t = \tg x

\sqrt{3} t^2 - 4t + \sqrt{3} = 0.

Решим полученное квадратное уравнение:

\sqrt{D} = \sqrt{4^2 - 4 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \sqrt{16 - 12} = \sqrt{4} = 2;

t_{1, 2} = \frac{4 \pm 2}{2\sqrt{3}} = \frac{2 \pm 1}{\sqrt{3}}

Получаем:

t_1 = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}, \quad t_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}.

Сделаем обратную замену:

\left[ \begin{array}{l} \tg x = \sqrt{3},\\[3mm] \tg x = \dfrac{1}{\sqrt{3}}. \end{array} \right. \;\Leftrightarrow\; \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{3} + \pi k,\\[3mm] x = \dfrac{\pi}{6} + \pi k,\ k \in \mathbb{Z}. \end{array} \right.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку

\left[\pi; \dfrac{5\pi}{2}\right]

, с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё. <div style="text-align:center;margin:16px 0;">

</div> На отрезок попали следующие корни:

\frac{7\pi}{6},\ \frac{4\pi}{3},\ \frac{13\pi}{6}, \ \frac{7\pi}{3}.

Ответ: а)

\dfrac{\pi}{6} + \pi k,\, \dfrac{\pi}{3} + \pi k,\ k \in \mathbb{Z}

; б)

\dfrac{7\pi}{6},\ \dfrac{4\pi}{3},\ \dfrac{13\pi}{6}, \ \dfrac{7\pi}{3}

Ответ: а)

\dfrac{\pi}{6} + \pi k,\, \dfrac{\pi}{3} + \pi k,\ k \in \mathbb{Z}

; б)

\dfrac{7\pi}{6},\ \dfrac{4\pi}{3},\ \dfrac{13\pi}{6}, \ \dfrac{7\pi}{3}

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Формулы приведения и основные тригонометрические тождества
Решение простейших тригонометрических уравнений
Отбор корней на отрезке без округления границ

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Потерять корни при делении на sin x или cos x вместо разложения на множители.
Не учесть область допустимых значений логарифма, корня или знаменателя.
Сразу подбирать корни на отрезке, не записав полное решение пункта а).

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Преобразования равносильны и все ограничения записаны?
2В пункте а) перечислены все серии корней с k ∈ Z?
3Каждая серия проверена по обеим границам отрезка из пункта б)?

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №14

Все задания линии №14 →

Тригонометрические уравненияа) Решите уравнение sin 2x + $2$ $cos (x + π)$ = 0. б) Укажите корни на отрезке [3π; $\frac{9 π}{2}$ ].FIPI ID A1A34D Тригонометрические уравненияа) Решите уравнение cos 2x + $cos (- x)$ = 0. б) Укажите корни на отрезке [− $\frac{7 π}{2}$ ; −2π].FIPI ID 0448F1 Тригонометрические уравненияа) Решите уравнение 2 $sin (x - \frac{π}{4})$ + 2 $2$ $cos (\frac{π}{2} + x)$ = 0. б) Найдите все корни на отрезке…FIPI ID 5E5CF2 Тригонометрические уравненияа) Решите уравнение sin 2x + 2 $2$ $cos (x - \frac{π}{4})$ + 1 = 0. б) Найдите все корни на отрезке…FIPI ID 913EF3 Тригонометрические уравненияа) Решите уравнение 2 $sin (x + \frac{π}{6})$ − 2 $3$ cos $^{2}$ x = cos x − 2 $3$ . б) Укажите корни на отрезке…FIPI ID 6671FD Тригонометрические уравненияа) Решите уравнение cos 2x + $3$ $sin (\frac{π}{2} + x)$ + 1 = 0. б) Укажите корни на отрезке [−3π…FIPI ID 8413F6

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №14Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

а) Решите уравнение 3​tg2x−4tgx+3​=0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π;25π​].