Задание 5 из 67Уравнения смешанного типа

Линия №14 · Повышенный уровень

а) Решите уравнение $\frac{4 ^{s i n 2 x} - 2 ^{23 s i n x}}{7 s i n x} = 0$ . б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку $[- \frac{13 π}{2}; - 5 π]$ .

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: A6BC58

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Решение задания ФИПИ A6BC58 оформлено в формате второй части ЕГЭ: сначала получаем все корни, затем отдельно и без десятичных приближений отбираем корни на заданном отрезке.

Ключевая идея: Сделать допустимую замену, решить получившееся алгебраическое уравнение, вернуться к тригонометрической переменной и выполнить точный отбор корней..

Пошаговый разбор

Понятное решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Пример решения №1

Решение

а) Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю:

({ sin2x 2√3sinx
4√----− 2 = 0
( 7sinx⁄= 0

Так как ОДЗ выражения √ -----
7sinx — это sin x≥ 0 , но √ -----
7sinx ⁄= 0 , то есть sin x⁄= 0 , то данная система равносильна:

Рассмотрим уравнение системы:

По свойству степеней с одинаковыми основаниями и формуле синуса двойного угла получим:

√ -
2⋅2sinxcosx= 2 3sinx
sinx(2cosx − √3)= 0
⌊
|sin x= 0
⌈ √3-
cosx= 2
⌊x = πk, k ∈ ℤ
⌈ π
x = ±6-+ 2πk, k ∈ ℤ

Рассмотрим полученные серии корней.

1) Так как по ОДЗ sin x> 0, то серия корней x = πk, k ∈ℤ нам не подходит.

2) Серия корней π-
x= − 6 + 2πk, k ∈ ℤ также не удовлетворяет ОДЗ, так как находится в четвертой четверти, где sinx< 0.

3) Серия корней π-
x= 6 + 2πk, k ∈ ℤ удовлетворяет ОДЗ, так как находится в первой четверти, где sinx >0.

Следовательно, ответом будут корни:

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку [ ]
− 13π;− 5π ,
2 концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

−−− 15 33π5ππ
26

Следовательно, на отрезке [ 13π ]
− -2-;−5π лежит точка 35π
− -6-.

Ответ:

а) π+ 2πk, k ∈ℤ
6

б) − 35π-
6

Пример решения №2

Решение

а) Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель определён. В нашем случае знаменатель определён при

\sin x > 0

. Найдём нули числителя:

4^{\sin 2x} - 2^{2\sqrt{3}\sin x} = 0;

4^{\sin 2x} = 2^{2\sqrt{3}\sin x};

2^{2\sin 2x} = 2^{2\sqrt{3}\sin x};

2\sin 2x = 2\sqrt{3}\sin x;

\sin 2x = \sqrt{3}\sin x.

Воспользуемся формулой синуса двойного угла:

\sin x(2\cos x - \sqrt{3}) = 0.

Получаем:

\left[ \begin{array}{l} \sin x = 0,\\ 2\cos x - \sqrt{3} = 0. \end{array} \right.

Заметим, что случай

\sin x = 0

не удовлетворяет условию

\sin x > 0

. Решим второе уравнение совокупности:

\cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{2};

x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}.

Учтём ограничение

\sin x > 0

: 1) При

x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k

\sin x = \dfrac{1}{2} > 0

— подходит 2) При

x = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k

\sin x = -\dfrac{1}{2} < 0

— не подходит Таким образом, получаем следующие корни уравнения:

x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку

\left[-\dfrac{13\pi}{2}; -5\pi\right]

, с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё. <div style="text-align:center;margin:16px 0;">

</div> На отрезок попали корень:

-\frac{35\pi}{6}

Ответ: а)

\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}

; б)

-\dfrac{35\pi}{6}

Ответ: а)

\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}

; б)

-\dfrac{35\pi}{6}

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Формулы приведения и основные тригонометрические тождества
Решение простейших тригонометрических уравнений
Отбор корней на отрезке без округления границ

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Потерять корни при делении на sin x или cos x вместо разложения на множители.
Не учесть область допустимых значений логарифма, корня или знаменателя.
Сразу подбирать корни на отрезке, не записав полное решение пункта а).

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Преобразования равносильны и все ограничения записаны?
2В пункте а) перечислены все серии корней с k ∈ Z?
3Каждая серия проверена по обеим границам отрезка из пункта б)?

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №14Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

а) Решите уравнение 7sinx​4sin2x−223​sinx​=0. б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку [−213π​;−5π].