Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
Задание 14 из 67Тригонометрические уравнения
Линия №14

а) Решите уравнение . б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 6671FD

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Решение задания ФИПИ 6671FD оформлено в формате второй части ЕГЭ: сначала получаем все корни, затем отдельно и без десятичных приближений отбираем корни на заданном отрезке.

Ключевая идея: Привести выражение к произведению простых тригонометрических множителей, выписать общие серии корней и только после этого выполнить отбор на отрезке..
Пошаговый разбор

Понятное решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ
Пример решения №1

Решение

а) Используя формулу синуса суммы, запишем:

( π) ( π- π) √ - 2sin x+ 6 = 2 sinx cos 6 + cosxsin 6 = 3sin x+ cosx

Тогда уравнение примет вид:

√- √- 2 √- 3 sinx+-cosx− 2 3 cos x− cosx+ 2 3 = 0 √3sinx− 2√3 cos2x+ 2√3 = 0 sinx− 2cos2x+ 2= 0

По основному тригонометрическому тождеству:

2 2 cos x= 1− sin x

Тогда окончательно получаем:

2 sinx − 2+ 2sin x+ 2 =0 sin x(2sinx +1)= 0 ⌊sinx = 0 ⌈ 1 sinx = −2 ⌊x =πk, k ∈ ℤ || ||x =− π-+2πk, k ∈ ℤ |⌈ 6 x =− 5π +2πk,k ∈ ℤ 6

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку [ ] − 5π;−π , 2 концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

5π13π- −−−−2π2π6

Следовательно, на отрезке [ ] − 5π;−π 2 лежат точки − 13π; 6 − 2π; − π.

Ответ:

а) πk; − π-+ 2πk; − 5π+ 2πk,k ∈ ℤ 6 6

б) − 13π-; −2π; −π 6

Пример решения №2

Решение

а) Воспользуемся формулой синуса суммы: sin⁡(x+π6)=sin⁡xcos⁡π6+cos⁡xsin⁡π6=32sin⁡x+12cos⁡x.\sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) = \sin x \cos \frac{\pi}{6} + \cos x \sin \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x. Получаем: 2(32sin⁡x+12cos⁡x)−23cos⁡2x=cos⁡x−23;2\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x \right) - 2\sqrt{3} \cos^2 x = \cos x - 2\sqrt{3}; 3sin⁡x+cos⁡x−23cos⁡2x=cos⁡x−23;\sqrt{3} \sin x + \cos x - 2\sqrt{3} \cos^2 x = \cos x - 2\sqrt{3}; 3sin⁡x−23cos⁡2x=−23.\sqrt{3} \sin x - 2\sqrt{3} \cos^2 x = - 2\sqrt{3}. Разделим обе части уравнения на 3\sqrt{3}: sin⁡x−2cos⁡2x=−2.\sin x - 2\cos^2 x = -2. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: sin⁡x−2(1−sin⁡2x)=−2;\sin x - 2(1 - \sin^2 x) = -2; sin⁡x−2+2sin⁡2x=−2;\sin x - 2 + 2\sin^2 x = -2; sin⁡x+2sin⁡2x=0;\sin x + 2\sin^2 x = 0; sin⁡x(1+2sin⁡x)=0.\sin x (1 + 2\sin x) = 0. Получаем: [sin⁡x=0,1+2sin⁡x=0.  ⇔  [sin⁡x=0,sin⁡x=−12.  ⇔  [x=πk,x=−π6+2πk,x=−5π6+2πk, k∈Z.\left[ \begin{array}{l} \sin x = 0,\\ 1 + 2\sin x = 0. \end{array} \right. \;\Leftrightarrow\; \left[ \begin{array}{l} \sin x = 0,\\ \sin x = -\dfrac{1}{2}. \end{array} \right.\;\Leftrightarrow\; \left[ \begin{array}{l} x = \pi k,\\[2mm] x = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k,\\[2mm] x = -\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}. \end{array} \right. б) Отберём корни, принадлежащие отрезку [−5π2;−π]\left[-\dfrac{5\pi}{2}; -\pi\right], с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё. <div style="text-align:center;margin:16px 0;">
Иллюстрация к отбору корней
</div> На отрезок попали следующие корни: −13π6, −2π, −π.-\frac{13\pi}{6},\ -2\pi,\ -\pi. Ответ: а) πk, −π6+2πk, −5π6+2πk, k∈Z\pi k,\ -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k,\ -\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}; б) −13π6, −2π, −π-\dfrac{13\pi}{6},\ -2\pi,\ -\pi.
Ответ: а) πk, −π6+2πk, −5π6+2πk, k∈Z\pi k,\ -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k,\ -\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}; б) −13π6, −2π, −π-\dfrac{13\pi}{6},\ -2\pi,\ -\pi
Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач
  • Формулы приведения и основные тригонометрические тождества
  • Решение простейших тригонометрических уравнений
  • Отбор корней на отрезке без округления границ
Открыть теорию по математике →
Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом
  • Потерять корни при делении на sin x или cos x вместо разложения на множители.
  • Не учесть область допустимых значений логарифма, корня или знаменателя.
  • Сразу подбирать корни на отрезке, не записав полное решение пункта а).
Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом
  1. 1
    Преобразования равносильны и все ограничения записаны?
  2. 2
    В пункте а) перечислены все серии корней с k ∈ Z?
  3. 3
    Каждая серия проверена по обеим границам отрезка из пункта б)?
Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №14
Все задания линии №14 →
Тригонометрические уравненияа) Решите уравнение sin 2x + = 0. б) Укажите корни на отрезке [3π; ].FIPI ID A1A34DТригонометрические уравненияа) Решите уравнение cos 2x + = 0. б) Укажите корни на отрезке [−; −2π].FIPI ID 0448F1Тригонометрические уравненияа) Решите уравнение 2 + 2 = 0. б) Найдите все корни на отрезке…FIPI ID 5E5CF2Тригонометрические уравненияа) Решите уравнение sin 2x + 2 + 1 = 0. б) Найдите все корни на отрезке…FIPI ID 913EF3Тригонометрические уравненияа) Решите уравнение cos 2x + + 1 = 0. б) Укажите корни на отрезке [−3π…FIPI ID 8413F6Тригонометрические уравненияа) Решите уравнение 2sin( − x) + sin 2x = 0. б) Укажите корни на отрезке [3π; ].FIPI ID 3BB500
Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ
Все задания линии №14Перейти к списку и выбрать следующую задачуБанк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭКонструктор вариантаСобрать тренировочный вариантПробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена