Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 24 · ФИПИ 07923351 из 60

Биссектриса и середина стороны параллелограмма

Сторона BC  параллелограмма ABCD  вдвое больше стороны AB .
Точка K   —  середина стороны BC . Докажите, что AK   —  биссектриса
угла BAD .

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала докажите самостоятельно

Запишите номер 24, выполните чертёж и приведите полное доказательство, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 079233.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №24

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Чертёж и последовательное доказательство.

№24.

По условию K — середина BC и BC=2ABBC=2AB.

BK=BC2=ABBK=\frac{BC}{2}=AB
Чертёж к заданию ФИПИ 079233. Обозначения пояснены в решении.

В треугольнике ABK стороны AB и BK равны. Значит, равны углы при основании AK.

∠BAK=∠AKB\angle BAK=\angle AKB

BC∥ADBC\parallel AD даёт равенство накрест лежащих углов. Следовательно, AK — биссектриса угла BAD.

∠AKB=∠KAD\angle AKB=\angle KAD
∠BAK=∠KAD\angle BAK=\angle KAD

Что и требовалось доказать.

На экзамене запишите номер задания, выполните чертёж и обоснуйте каждый шаг доказательства. Переписывать условие не требуется. Допустим другой математически верный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно доказать

Докажите, что AK — биссектриса угла BAD .

Идея решения

Биссектриса и середина стороны параллелограмма. Докажите, что AK — биссектриса угла BAD .

Дано
Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AB . Точка K — середина стороны BC .
Доказать
Докажите, что AK — биссектриса угла BAD .

Получаем равные отрезки

Точка K — середина BC, а эта сторона вдвое больше AB. Следовательно, половина длинной стороны равна соседней короткой стороне.

BKBK=BC2=\frac{BC}{2}=AB=AB

Чертёж к доказательству

Биссектриса и середина стороны параллелограмма. Чертёж к доказательству ФИПИ 079233.
Обозначения на чертеже
  • Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AB . Точка K — середина стороны BC .
  • Дополнительные точки введены в решении. Рисунок помогает проследить доказательство; измерения по рисунку его не заменяют.
Вспомогательные линии показаны пунктиром. Утверждение доказывается для всех фигур, удовлетворяющих условию.
Открыть схему крупнее ↗

Используем равнобедренный треугольник

В треугольнике ABK стороны AB и BK равны. Значит, равны углы при основании AK.

∠BAK\angle BAK=∠AKB=\angle AKB

Сравниваем с другой половиной угла

Прямые BC и AD параллельны. Поэтому углы ∠AKB\angle AKB и ∠KAD\angle KAD равны как накрест лежащие. Получили два равных угла, на которые отрезок AK делит угол BAD. Это и означает, что он является биссектрисой.

∠AKB\angle AKB=∠KAD=\angle KAD
∠BAK\angle BAK=∠KAD=\angle KAD

Что проверяет эксперт в задании №24

За задание можно получить до 2 баллов. Требуется доказать утверждение для всех фигур, которые удовлетворяют условию.

2 балла
Доказательство верное, все необходимые шаги обоснованы.
1 балл
Доказательство в целом верное, но содержит отдельные неточности.
0 баллов
Решение не соответствует указанным критериям. Измерения по рисунку и проверка одного частного примера не заменяют доказательство.

Источники: проект демоверсии ФИПИ 2027 (задание 24) и материалы для экспертов 2026. Допустим другой математически верный способ доказательства.

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены логические переходы в доказательствах, обозначения и соответствие чертежей условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Получаем равные отрезки
  2. Используем равнобедренный треугольник
  3. Сравниваем с другой половиной угла
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • В параллелограмме противоположные стороны параллельны.
  • В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
  • Биссектриса делит угол на два равных угла.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Середина одной стороны сама по себе не задаёт биссектрису: нужно использовать отношение длин из условия.
  • Называйте конкретные равные углы и объясняйте, почему они равны.
Все задания №24 (60)