ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 24 · ФИПИ 8A015534 из 60

Площади и точка на средней линии трапеции

На средней линии трапеции $A B C D$ с основаниями $A D$ и $B C$ выбрали произвольную точку $K$ . Докажите, что сумма площадей треугольников $B K C$ и $A K D$ равна половине площади трапеции.

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала докажите самостоятельно

Запишите номер 24, выполните чертёж и приведите полное доказательство, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 8A0155.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №24

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Чертёж и последовательное доказательство.

№24.

Пусть AD = a, BC = b, высота равна h. Проведём $KP\perp AD$ и $KQ\perp BC$ . Средняя линия проходит на половине высоты.

KP=KQ=\frac{h}{2}

$Чертёж к заданию ФИПИ 8A0155. Обозначения пояснены в решении.$

Для каждого треугольника берём основание на стороне трапеции и высоту из точки K.

S_{BKC}=\frac{b\cdot(h/2)}{2}=\frac{bh}{4}

S_{AKD}=\frac{a\cdot(h/2)}{2}=\frac{ah}{4}

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Полученная сумма площадей вдвое меньше.

S_{BKC}+S_{AKD}=\frac{(a+b)h}{4}

S_{ABCD}=\frac{(a+b)h}{2}

S_{BKC}+S_{AKD}=\frac{S_{ABCD}}{2}

Что и требовалось доказать.

На экзамене запишите номер задания, выполните чертёж и обоснуйте каждый шаг доказательства. Переписывать условие не требуется. Допустим другой математически верный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно доказать

Докажите, что сумма площадей треугольников BKC и AKD равна половине площади трапеции.

Идея решения

Площади и точка на средней линии трапеции. Докажите, что сумма площадей треугольников BKC и AKD равна половине площади трапеции.

Дано: На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку K .
Доказать: Докажите, что сумма площадей треугольников BKC и AKD равна половине площади трапеции.

Находим расстояния до оснований

Пусть AD = a, BC = b, а высота трапеции равна h. Средняя линия соединяет середины боковых сторон и параллельна основаниям. Поэтому расстояние от любой её точки до каждого основания равно h / 2.

KP

=KQ

=\frac{h}{2}

Площади и точка на средней линии трапеции. Чертёж к доказательству ФИПИ 8A0155. — Вспомогательные линии показаны пунктиром. Утверждение доказывается для всех фигур, удовлетворяющих условию.

Выражаем площади через основания и высоты

Для каждого треугольника берём основание на стороне трапеции и высоту из точки K.

S_{BKC}

=\frac{b\cdot(h/2)}{2}

=\frac{bh}{4}

S_{AKD}

=\frac{a\cdot(h/2)}{2}

=\frac{ah}{4}

Сравниваем сумму с площадью трапеции

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Полученная сумма площадей вдвое меньше.

S_{BKC}

+S_{AKD}

=\frac{(a+b)h}{4}

S_{ABCD}

=\frac{(a+b)h}{2}

S_{BKC}

+S_{AKD}

=\frac{S_{ABCD}}{2}

Что проверяет эксперт в задании №24

За задание можно получить до 2 баллов. Требуется доказать утверждение для всех фигур, которые удовлетворяют условию.

2 балла: Доказательство верное, все необходимые шаги обоснованы.
1 балл: Доказательство в целом верное, но содержит отдельные неточности.
0 баллов: Решение не соответствует указанным критериям. Измерения по рисунку и проверка одного частного примера не заменяют доказательство.

Источники: проект демоверсии ФИПИ 2027 (задание 24) и материалы для экспертов 2026. Допустим другой математически верный способ доказательства.

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Выполнен чертёж с обозначениями из условия и всеми вспомогательными точками.Каждый переход обоснован определением, свойством или теоремой; доказательство подходит для любой фигуры из условия.Получено именно утверждение из задания: сумма площадей треугольников BKC и AKD равна половине площади трапеции.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены логические переходы в доказательствах, обозначения и соответствие чертежей условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Находим расстояния до оснований
Выражаем площади через основания и высоты
Сравниваем сумму с площадью трапеции

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

Любая точка средней линии трапеции находится на одинаковом расстоянии h / 2 от её оснований.
Для площади треугольника используют высоту к выбранному основанию.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Точка на средней линии не обязана быть её серединой.
Не забывайте множитель 1/2 в формуле площади каждого треугольника.

Все задания №24 (60)