ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 24 · ФИПИ 1F1A2225 из 60

Признак вписанного четырёхугольника

В выпуклом четырёхугольнике $A B C D$ углы $D A C$ и $D B C$ равны. Докажите, что углы $C D B$ и $C A B$ также равны.

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала докажите самостоятельно

Запишите номер 24, выполните чертёж и приведите полное доказательство, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 1F1A22.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №24

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Чертёж и последовательное доказательство.

№24.

Данный отрезок DC виден из вершин A и B под равными углами. В выпуклом четырёхугольнике эти вершины находятся с одной стороны от прямой DC.

\angle DAC=\angle DBC

$Чертёж к заданию ФИПИ 1F1A22. Обозначения пояснены в решении.$

По обратной теореме о вписанном угле точки A, B, C, D лежат на одной окружности.

Вписанные углы $\angle CDB$ и $\angle CAB$ опираются на одну хорду CB и имеют вершины с одной стороны от неё. Поэтому они равны.

\angle CDB=\angle CAB

Что и требовалось доказать.

На экзамене запишите номер задания, выполните чертёж и обоснуйте каждый шаг доказательства. Переписывать условие не требуется. Допустим другой математически верный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно доказать

Докажите, что углы CDB и CAB также равны.

Идея решения

Признак вписанного четырёхугольника. Докажите, что углы CDB и CAB также равны.

Дано: В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы DAC и DBC равны.
Доказать: Докажите, что углы CDB и CAB также равны.

Используем равенство из условия

\angle DAC

=\angle DBC

Признак вписанного четырёхугольника. Чертёж к доказательству ФИПИ 1F1A22. — Вспомогательные линии показаны пунктиром. Утверждение доказывается для всех фигур, удовлетворяющих условию.

Доказываем, что четыре точки лежат на окружности

По признаку вписанного четырёхугольника: если один отрезок виден из двух точек с одной стороны от него под одинаковым углом, то обе точки и концы отрезка лежат на одной окружности. Значит, ABCD — вписанный четырёхугольник.

Получаем требуемое равенство

\angle CDB

=\angle CAB

Что проверяет эксперт в задании №24

За задание можно получить до 2 баллов. Требуется доказать утверждение для всех фигур, которые удовлетворяют условию.

2 балла: Доказательство верное, все необходимые шаги обоснованы.
1 балл: Доказательство в целом верное, но содержит отдельные неточности.
0 баллов: Решение не соответствует указанным критериям. Измерения по рисунку и проверка одного частного примера не заменяют доказательство.

Источники: проект демоверсии ФИПИ 2027 (задание 24) и материалы для экспертов 2026. Допустим другой математически верный способ доказательства.

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Выполнен чертёж с обозначениями из условия и всеми вспомогательными точками.Каждый переход обоснован определением, свойством или теоремой; доказательство подходит для любой фигуры из условия.Получено именно утверждение из задания: углы CDB и CAB также равны.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены логические переходы в доказательствах, обозначения и соответствие чертежей условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Используем равенство из условия
Доказываем, что четыре точки лежат на окружности
Получаем требуемое равенство

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

Для обратной теоремы о вписанном угле важно положение точек относительно прямой, содержащей хорду.
В выпуклом четырёхугольнике две вершины, не лежащие на выбранной стороне, находятся по одну сторону от прямой этой стороны.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Не объявляйте четырёхугольник вписанным без ссылки на равенство углов из условия.
Не путайте хорду, используемую в условии, с хордой, используемой в заключении.

Все задания №24 (60)