ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 24 · ФИПИ FA5D3750 из 60

Биссектриса и середина стороны параллелограмма

Сторона $A D$ параллелограмма $A B C D$ вдвое больше стороны $C D$ .
Точка $M$ $—$ середина стороны $A D$ . Докажите, что $C M$ $—$ биссектриса
угла $B C D$ .

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала докажите самостоятельно

Запишите номер 24, выполните чертёж и приведите полное доказательство, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание FA5D37.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №24

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Чертёж и последовательное доказательство.

№24.

По условию M — середина DA и $DA=2CD$ .

DM=\frac{DA}{2}=CD

$Чертёж к заданию ФИПИ FA5D37. Обозначения пояснены в решении.$

В треугольнике CDM стороны CD и DM равны. Значит, равны углы при основании CM.

\angle DCM=\angle CMD

$DA\parallel CB$ даёт равенство накрест лежащих углов. Следовательно, CM — биссектриса угла DCB.

\angle CMD=\angle MCB

\angle DCM=\angle MCB

Что и требовалось доказать.

На экзамене запишите номер задания, выполните чертёж и обоснуйте каждый шаг доказательства. Переписывать условие не требуется. Допустим другой математически верный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно доказать

Докажите, что CM — биссектриса угла BCD .

Идея решения

Биссектриса и середина стороны параллелограмма. Докажите, что CM — биссектриса угла BCD .

Дано: Сторона AD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD . Точка M — середина стороны AD .
Доказать: Докажите, что CM — биссектриса угла BCD .

Получаем равные отрезки

Точка M — середина DA, а эта сторона вдвое больше CD. Следовательно, половина длинной стороны равна соседней короткой стороне.

DM

=\frac{DA}{2}

=CD

Биссектриса и середина стороны параллелограмма. Чертёж к доказательству ФИПИ FA5D37. — Вспомогательные линии показаны пунктиром. Утверждение доказывается для всех фигур, удовлетворяющих условию.

Используем равнобедренный треугольник

В треугольнике CDM стороны CD и DM равны. Значит, равны углы при основании CM.

\angle DCM

=\angle CMD

Сравниваем с другой половиной угла

Прямые DA и CB параллельны. Поэтому углы $\angle CMD$ и $\angle MCB$ равны как накрест лежащие. Получили два равных угла, на которые отрезок CM делит угол DCB. Это и означает, что он является биссектрисой.

\angle CMD

=\angle MCB

\angle DCM

=\angle MCB

Что проверяет эксперт в задании №24

За задание можно получить до 2 баллов. Требуется доказать утверждение для всех фигур, которые удовлетворяют условию.

2 балла: Доказательство верное, все необходимые шаги обоснованы.
1 балл: Доказательство в целом верное, но содержит отдельные неточности.
0 баллов: Решение не соответствует указанным критериям. Измерения по рисунку и проверка одного частного примера не заменяют доказательство.

Источники: проект демоверсии ФИПИ 2027 (задание 24) и материалы для экспертов 2026. Допустим другой математически верный способ доказательства.

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Выполнен чертёж с обозначениями из условия и всеми вспомогательными точками.Каждый переход обоснован определением, свойством или теоремой; доказательство подходит для любой фигуры из условия.Получено именно утверждение из задания: CM — биссектриса угла BCD .

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены логические переходы в доказательствах, обозначения и соответствие чертежей условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Получаем равные отрезки
Используем равнобедренный треугольник
Сравниваем с другой половиной угла

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

В параллелограмме противоположные стороны параллельны.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Биссектриса делит угол на два равных угла.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Середина одной стороны сама по себе не задаёт биссектрису: нужно использовать отношение длин из условия.
Называйте конкретные равные углы и объясняйте, почему они равны.

Все задания №24 (60)