Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 24 · ФИПИ 51ABBB21 из 60

Общая касательная и отношение диаметров

Окружности с центрами в точках P  и Q  не имеют общих точек, и ни одна
из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении a:b . Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как a:b .

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала докажите самостоятельно

Запишите номер 24, выполните чертёж и приведите полное доказательство, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 51ABBB.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №24

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Чертёж и последовательное доказательство.

№24.

Пусть T — пересечение касательной и PQ; A и B — точки касания. Радиусы к точкам касания перпендикулярны касательной.

PA⊥ABPA\perp AB
QB⊥ABQB\perp AB
Чертёж к заданию ФИПИ 51ABBB. Обозначения пояснены в решении.

Треугольники PAT и QBT прямоугольные. Углы при T вертикальные, поэтому равны. Треугольники подобны по двум углам. Отношение радиусов равно отношению соответствующих гипотенуз.

△PAT∼△QBT\triangle PAT\sim\triangle QBT
PAQB=PTQT=ab\frac{PA}{QB}=\frac{PT}{QT}=\frac{a}{b}

Диаметр каждой окружности равен удвоенному радиусу. При умножении обеих частей отношения на одно число отношение не меняется.

d1d2=2PA2QB\frac{d_1}{d_2}=\frac{2PA}{2QB}
d1d2=ab\frac{d_1}{d_2}=\frac{a}{b}

Что и требовалось доказать.

На экзамене запишите номер задания, выполните чертёж и обоснуйте каждый шаг доказательства. Переписывать условие не требуется. Допустим другой математически верный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно доказать

Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как a:b .

Идея решения

Общая касательная и отношение диаметров. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как a:b .

Дано
Окружности с центрами в точках P и Q не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении a:b .
Доказать
Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как a:b .

Проводим радиусы к точкам касания

Пусть T — точка пересечения внутренней общей касательной с отрезком PQ, а A и B — точки касания с первой и второй окружностями. Радиусы PA и QB перпендикулярны касательной.

PA⊥ABPA\perp AB
QB⊥ABQB\perp AB

Чертёж к доказательству

Общая касательная и отношение диаметров. Чертёж к доказательству ФИПИ 51ABBB.
Обозначения на чертеже
  • Окружности с центрами в точках P и Q не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении a:b .
  • Дополнительные точки введены в решении. Рисунок помогает проследить доказательство; измерения по рисунку его не заменяют.
Вспомогательные линии показаны пунктиром. Утверждение доказывается для всех фигур, удовлетворяющих условию.
Открыть схему крупнее ↗

Доказываем подобие прямоугольных треугольников

Треугольники PAT и QBT прямоугольные. Углы при T вертикальные, поэтому равны. Треугольники подобны по двум углам. Отношение радиусов равно отношению соответствующих гипотенуз.

△PAT∼△QBT\triangle PAT\sim\triangle QBT
PAQB\frac{PA}{QB}=PTQT=\frac{PT}{QT}=ab=\frac{a}{b}

Переходим от радиусов к диаметрам

Диаметр каждой окружности равен удвоенному радиусу. При умножении обеих частей отношения на одно число отношение не меняется.

d1d2\frac{d_1}{d_2}=2PA2QB=\frac{2PA}{2QB}
d1d2\frac{d_1}{d_2}=ab=\frac{a}{b}

Что проверяет эксперт в задании №24

За задание можно получить до 2 баллов. Требуется доказать утверждение для всех фигур, которые удовлетворяют условию.

2 балла
Доказательство верное, все необходимые шаги обоснованы.
1 балл
Доказательство в целом верное, но содержит отдельные неточности.
0 баллов
Решение не соответствует указанным критериям. Измерения по рисунку и проверка одного частного примера не заменяют доказательство.

Источники: проект демоверсии ФИПИ 2027 (задание 24) и материалы для экспертов 2026. Допустим другой математически верный способ доказательства.

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены логические переходы в доказательствах, обозначения и соответствие чертежей условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Проводим радиусы к точкам касания
  2. Доказываем подобие прямоугольных треугольников
  3. Переходим от радиусов к диаметрам
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
  • Вертикальные углы равны; двух равных углов достаточно для подобия треугольников.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Внутренняя общая касательная пересекает отрезок между центрами; на рисунке центры должны находиться по разные стороны касательной.
  • Отношение диаметров такое же, как отношение радиусов: не нужно дополнительно удваивать один член отношения.
Все задания №24 (60)