ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 24 · ФИПИ 95520416 из 60

Середина боковой стороны и площадь трапеции

Точка $E$ $—$ середина боковой стороны $A B$ трапеции $A B C D$ . Докажите,
что площадь треугольника $E C D$ равна половине площади трапеции.

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала докажите самостоятельно

Запишите номер 24, выполните чертёж и приведите полное доказательство, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 955204.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №24

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Чертёж и последовательное доказательство.

№24.

Пусть AD = a, BC = b, высота равна h. Из середины E опустим перпендикуляры к основаниям; оба расстояния равны h / 2.

EP=EQ=\frac{h}{2}

$Чертёж к заданию ФИПИ 955204. Обозначения пояснены в решении.$

Соединим точку E с двумя вершинами противоположной боковой стороны. Трапеция разобьётся на три треугольника. Два из них имеют основания BC и AD.

S_{BEC}=\frac{bh}{4}

S_{AED}=\frac{ah}{4}

Оставшаяся часть — именно треугольник ECD. Вычитаем из площади трапеции суммы площадей двух треугольников у оснований.

S_{ECD}=\frac{(a+b)h}{2}-\frac{bh}{4}-\frac{ah}{4}=\frac{(a+b)h}{4}

S_{ECD}=\frac{S_{ABCD}}{2}

Что и требовалось доказать.

На экзамене запишите номер задания, выполните чертёж и обоснуйте каждый шаг доказательства. Переписывать условие не требуется. Допустим другой математически верный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно доказать

Докажите, что площадь треугольника ECD равна половине площади трапеции.

Идея решения

Середина боковой стороны и площадь трапеции. Докажите, что площадь треугольника ECD равна половине площади трапеции.

Дано: Точка E — середина боковой стороны AB трапеции ABCD .
Доказать: Докажите, что площадь треугольника ECD равна половине площади трапеции.

Находим расстояния от середины до оснований

Пусть AD = a, BC = b, высота трапеции равна h. Через середину боковой стороны проходит средняя линия. Поэтому расстояние от точки E до каждой прямой, содержащей основание, равно h / 2.

EP

=EQ

=\frac{h}{2}

Середина боковой стороны и площадь трапеции. Чертёж к доказательству ФИПИ 955204. — Вспомогательные линии показаны пунктиром. Утверждение доказывается для всех фигур, удовлетворяющих условию.

Находим площади двух частей у оснований

S_{BEC}

=\frac{bh}{4}

S_{AED}

=\frac{ah}{4}

Вычитаем эти площади из площади трапеции

S_{ECD}

=\frac{(a+b)h}{2}

-\frac{bh}{4}

-\frac{ah}{4}

=\frac{(a+b)h}{4}

S_{ECD}

=\frac{S_{ABCD}}{2}

Что проверяет эксперт в задании №24

За задание можно получить до 2 баллов. Требуется доказать утверждение для всех фигур, которые удовлетворяют условию.

2 балла: Доказательство верное, все необходимые шаги обоснованы.
1 балл: Доказательство в целом верное, но содержит отдельные неточности.
0 баллов: Решение не соответствует указанным критериям. Измерения по рисунку и проверка одного частного примера не заменяют доказательство.

Источники: проект демоверсии ФИПИ 2027 (задание 24) и материалы для экспертов 2026. Допустим другой математически верный способ доказательства.

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Выполнен чертёж с обозначениями из условия и всеми вспомогательными точками.Каждый переход обоснован определением, свойством или теоремой; доказательство подходит для любой фигуры из условия.Получено именно утверждение из задания: площадь треугольника ECD равна половине площади трапеции.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены логические переходы в доказательствах, обозначения и соответствие чертежей условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Находим расстояния от середины до оснований
Находим площади двух частей у оснований
Вычитаем эти площади из площади трапеции

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

Средняя линия трапеции проходит через середины обеих боковых сторон.
Площади неперекрывающихся частей фигуры складываются.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Середина боковой стороны не обязана быть равноудалена от двух других боковых сторон.
Вычитайте площади двух треугольников у оснований, а не половины этих площадей.

Все задания №24 (60)