ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 24 · ФИПИ 2EF3D229 из 60

Площади треугольников у диагоналей трапеции

В трапеции $A B C D$ с основаниями $A D$ и $B C$ диагонали пересекаются
в точке $P$ . Докажите, что площади треугольников $A P B$ и $C P D$ равны.

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала докажите самостоятельно

Запишите номер 24, выполните чертёж и приведите полное доказательство, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 2EF3D2.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №24

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Чертёж и последовательное доказательство.

№24.

Треугольники ABD и ACD имеют общее основание AD. Их вершины B и C лежат на прямой BC, параллельной AD, поэтому высоты к основанию AD равны. Следовательно, площади треугольников равны.

S_{ABD}=S_{ACD}

$Чертёж к заданию ФИПИ 2EF3D2. Обозначения пояснены в решении.$

Точка P лежит на обеих диагоналях. Отрезок AP делит треугольник ABD на APB и APD. Отрезок DP делит треугольник ACD на CPD и APD.

S_{ABD}=S_{APB}+S_{APD}

S_{ACD}=S_{CPD}+S_{APD}

Из равных площадей больших треугольников вычитаем площадь одного и того же треугольника APD. Оставшиеся площади равны.

S_{APB}=S_{CPD}

Что и требовалось доказать.

На экзамене запишите номер задания, выполните чертёж и обоснуйте каждый шаг доказательства. Переписывать условие не требуется. Допустим другой математически верный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно доказать

Докажите, что площади треугольников APB и CPD равны.

Идея решения

Площади треугольников у диагоналей трапеции. Докажите, что площади треугольников APB и CPD равны.

Дано: В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке P .
Доказать: Докажите, что площади треугольников APB и CPD равны.

Сравниваем два больших треугольника

S_{ABD}

=S_{ACD}

Площади треугольников у диагоналей трапеции. Чертёж к доказательству ФИПИ 2EF3D2. — Вспомогательные линии показаны пунктиром. Утверждение доказывается для всех фигур, удовлетворяющих условию.

Выделяем общую часть

S_{ABD}

=S_{APB}

+S_{APD}

S_{ACD}

=S_{CPD}

+S_{APD}

Вычитаем равную общую площадь

S_{APB}

=S_{CPD}

Что проверяет эксперт в задании №24

За задание можно получить до 2 баллов. Требуется доказать утверждение для всех фигур, которые удовлетворяют условию.

2 балла: Доказательство верное, все необходимые шаги обоснованы.
1 балл: Доказательство в целом верное, но содержит отдельные неточности.
0 баллов: Решение не соответствует указанным критериям. Измерения по рисунку и проверка одного частного примера не заменяют доказательство.

Источники: проект демоверсии ФИПИ 2027 (задание 24) и материалы для экспертов 2026. Допустим другой математически верный способ доказательства.

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Выполнен чертёж с обозначениями из условия и всеми вспомогательными точками.Каждый переход обоснован определением, свойством или теоремой; доказательство подходит для любой фигуры из условия.Получено именно утверждение из задания: площади треугольников APB и CPD равны.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены логические переходы в доказательствах, обозначения и соответствие чертежей условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Сравниваем два больших треугольника
Выделяем общую часть
Вычитаем равную общую площадь

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

Треугольники с общим основанием и равными высотами имеют равные площади.
Если из равных величин вычесть одну и ту же величину, результаты будут равны.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Треугольники у боковых сторон равновелики, но не обязаны быть равными как фигуры.
Не утверждайте, что диагонали трапеции делятся точкой пересечения пополам.

Все задания №24 (60)