ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 24 · ФИПИ 9B683D55 из 60

Две секущие и подобие треугольников

Известно, что около четырёхугольника $A B C D$ можно описать окружность
и что продолжения сторон $A B$ и $C D$ четырёхугольника пересекаются
в точке $M$ . Докажите, что треугольники $M B C$ и $M D A$ подобны.

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала докажите самостоятельно

Запишите номер 24, выполните чертёж и приведите полное доказательство, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 9B683D.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №24

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Чертёж и последовательное доказательство.

№24.

По теореме о двух секущих, проведённых из внешней точки M:

MA\cdot MB=MC\cdot MD

$Чертёж к заданию ФИПИ 9B683D. Обозначения пояснены в решении.$

Все расстояния положительны. Делим равенство произведений так, чтобы слева и справа появились отношения двух пар сторон треугольников из условия.

\frac{MB}{MD}=\frac{MC}{MA}

Угол при M — угол между теми же двумя секущими. По двум сторонам и углу между ними треугольники подобны.

\triangle MBC\sim\triangle MDA

Что и требовалось доказать.

На экзамене запишите номер задания, выполните чертёж и обоснуйте каждый шаг доказательства. Переписывать условие не требуется. Допустим другой математически верный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно доказать

Докажите, что треугольники MBC и MDA подобны.

Идея решения

Две секущие и подобие треугольников. Докажите, что треугольники MBC и MDA подобны.

Дано: Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AB и CD четырёхугольника пересекаются в точке M .
Доказать: Докажите, что треугольники MBC и MDA подобны.

Применяем теорему о двух секущих

Точка M находится вне окружности. Для двух секущих из одной внешней точки произведение расстояний до двух точек пересечения на одной секущей равно такому же произведению на другой. Это верно независимо от того, какая из двух точек на каждом луче ближе к M.

MA

\cdot MB

=MC

\cdot MD

Две секущие и подобие треугольников. Чертёж к доказательству ФИПИ 9B683D. — Вспомогательные линии показаны пунктиром. Утверждение доказывается для всех фигур, удовлетворяющих условию.

Получаем отношение соответствующих сторон

\frac{MB}{MD}

=\frac{MC}{MA}

Сравниваем углы между этими сторонами

Точки пересечения окружности с каждой секущей лежат на одном луче из M. Поэтому угол между секущими является общим для двух рассматриваемых треугольников. Две пары сторон пропорциональны, а угол между ними равен: применяем признак подобия по двум сторонам и углу между ними.

\triangle MBC\sim\triangle MDA

Что проверяет эксперт в задании №24

За задание можно получить до 2 баллов. Требуется доказать утверждение для всех фигур, которые удовлетворяют условию.

2 балла: Доказательство верное, все необходимые шаги обоснованы.
1 балл: Доказательство в целом верное, но содержит отдельные неточности.
0 баллов: Решение не соответствует указанным критериям. Измерения по рисунку и проверка одного частного примера не заменяют доказательство.

Источники: проект демоверсии ФИПИ 2027 (задание 24) и материалы для экспертов 2026. Допустим другой математически верный способ доказательства.

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Выполнен чертёж с обозначениями из условия и всеми вспомогательными точками.Каждый переход обоснован определением, свойством или теоремой; доказательство подходит для любой фигуры из условия.Получено именно утверждение из задания: треугольники MBC и MDA подобны.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены логические переходы в доказательствах, обозначения и соответствие чертежей условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Применяем теорему о двух секущих
Получаем отношение соответствующих сторон
Сравниваем углы между этими сторонами

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

Для двух секущих из внешней точки произведения расстояний до точек пересечения с окружностью равны.
Признак подобия по двум сторонам и углу между ними применим и тогда, когда один треугольник вложен в другой.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

В произведение входят расстояния от внешней точки до обеих точек окружности, а не длина части секущей внутри окружности.
Не предполагайте без условия, какая вершина находится ближе к точке пересечения продолжений: доказательство должно работать при обоих порядках.

Все задания №24 (60)