ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 24 · ФИПИ 0796BC20 из 60

Сумма площадей в параллелограмме

Внутри параллелограмма $A B C D$ выбрали произвольную точку $F$ . Докажите, что сумма площадей треугольников $B F C$ и $A F D$ равна половине площади параллелограмма.

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала докажите самостоятельно

Запишите номер 24, выполните чертёж и приведите полное доказательство, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 0796BC.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №24

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Чертёж и последовательное доказательство.

№24.

Пусть BC = AD = a, высота параллелограмма равна h. Проведём $FP\perp AD$ и $FQ\perp BC$ .

FP+FQ=h

$Чертёж к заданию ФИПИ 0796BC. Обозначения пояснены в решении.$

Площадь треугольника равна половине произведения основания на соответствующую высоту. У двух треугольников основания равны a, но высоты могут быть разными.

S_{BFC}=\frac{a\cdot FQ}{2}

S_{AFD}=\frac{a\cdot FP}{2}

Выносим общий множитель a / 2. Сумма высот равна h, а площадь параллелограмма равна ah.

S_{BFC}+S_{AFD}=\frac{a(FP+FQ)}{2}=\frac{ah}{2}

S_{BFC}+S_{AFD}=\frac{S_{ABCD}}{2}

Что и требовалось доказать.

На экзамене запишите номер задания, выполните чертёж и обоснуйте каждый шаг доказательства. Переписывать условие не требуется. Допустим другой математически верный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно доказать

Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине площади параллелограмма.

Идея решения

Сумма площадей в параллелограмме. Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине площади параллелограмма.

Дано: Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку F .
Доказать: Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине площади параллелограмма.

Обозначаем основания и высоты

Пусть BC = AD = a, а h — расстояние между этими параллельными прямыми. Из точки F опустим перпендикуляры FP на AD и FQ на BC. Так как F лежит внутри параллелограмма, эти расстояния в сумме дают h.

FP

+FQ

=h

Сумма площадей в параллелограмме. Чертёж к доказательству ФИПИ 0796BC. — Вспомогательные линии показаны пунктиром. Утверждение доказывается для всех фигур, удовлетворяющих условию.

Записываем площади двух треугольников

S_{BFC}

=\frac{a\cdot FQ}{2}

S_{AFD}

=\frac{a\cdot FP}{2}

Складываем и сравниваем с площадью параллелограмма

Выносим общий множитель a / 2. Сумма высот равна h, а площадь параллелограмма равна ah.

S_{BFC}

+S_{AFD}

=\frac{a(FP+FQ)}{2}

=\frac{ah}{2}

S_{BFC}

+S_{AFD}

=\frac{S_{ABCD}}{2}

Что проверяет эксперт в задании №24

За задание можно получить до 2 баллов. Требуется доказать утверждение для всех фигур, которые удовлетворяют условию.

2 балла: Доказательство верное, все необходимые шаги обоснованы.
1 балл: Доказательство в целом верное, но содержит отдельные неточности.
0 баллов: Решение не соответствует указанным критериям. Измерения по рисунку и проверка одного частного примера не заменяют доказательство.

Источники: проект демоверсии ФИПИ 2027 (задание 24) и материалы для экспертов 2026. Допустим другой математически верный способ доказательства.

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Выполнен чертёж с обозначениями из условия и всеми вспомогательными точками.Каждый переход обоснован определением, свойством или теоремой; доказательство подходит для любой фигуры из условия.Получено именно утверждение из задания: сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине площади параллелограмма.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены логические переходы в доказательствах, обозначения и соответствие чертежей условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Обозначаем основания и высоты
Записываем площади двух треугольников
Складываем и сравниваем с площадью параллелограмма

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

Расстояние между параллельными прямыми измеряют по перпендикуляру.
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту; площадь параллелограмма — произведению основания на высоту.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Произвольная внутренняя точка не обязана делить высоту пополам.
Сравнивайте сумму площадей, а не площади треугольников по отдельности.

Все задания №24 (60)