ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 24 · ФИПИ 2FEF5131 из 60

Подобие и высоты тупоугольного треугольника

В треугольнике $A B C$ с тупым углом $B A C$ проведены высоты $B B_{1}$ и $C C_{1}$ . Докажите, что треугольники $A B_{1} C_{1}$ и $A B C$ подобны.

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала докажите самостоятельно

Запишите номер 24, выполните чертёж и приведите полное доказательство, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 2FEF51.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №24

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Чертёж и последовательное доказательство.

№24.

Так как угол A тупой, основания высот $B_1$ и $C_1$ лежат на продолжениях сторон за A.

$Чертёж к заданию ФИПИ 2FEF51. Обозначения пояснены в решении.$

Два прямоугольных треугольника имеют равные острые углы при A и потому подобны:

\triangle AB_1B\sim\triangle AC_1C

\frac{AB_1}{AC_1}=\frac{AB}{AC}

Углы при A равны как вертикальные. По двум пропорциональным сторонам и углу между ними:

\angle B_1AC_1=\angle BAC

\triangle AB_1C_1\sim\triangle ABC

Что и требовалось доказать.

На экзамене запишите номер задания, выполните чертёж и обоснуйте каждый шаг доказательства. Переписывать условие не требуется. Допустим другой математически верный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно доказать

Докажите, что треугольники AB_{1} C_{1} и ABC подобны.

Идея решения

Подобие и высоты тупоугольного треугольника. Докажите, что треугольники AB_{1} C_{1} и ABC подобны.

Дано: В треугольнике ABC с тупым углом BAC проведены высоты BB_{1} и CC_{1} .
Доказать: Докажите, что треугольники AB_{1} C_{1} и ABC подобны.

Учитываем положение оснований высот

Угол при A тупой. Поэтому основание высоты $B_1$ лежит на продолжении AC за A, а основание $C_1$ — на продолжении AB за A. Лучи $AB_1$ и AC противоположны; аналогично противоположны $AC_1$ и AB.

Подобие и высоты тупоугольного треугольника. Чертёж к доказательству ФИПИ 2FEF51. — Вспомогательные линии показаны пунктиром. Утверждение доказывается для всех фигур, удовлетворяющих условию.

Сравниваем два прямоугольных треугольника

Треугольники $\triangle AB_1B$ и $\triangle AC_1C$ прямоугольные. Острый угол при A в каждом из них дополняет данный тупой угол до 180°. Значит, треугольники подобны по двум углам. Отношение соответствующих катетов равно отношению гипотенуз.

\triangle AB_1B\sim\triangle AC_1C

\frac{AB_1}{AC_1}

=\frac{AB}{AC}

Применяем второй признак подобия

Угол $\angle B_1AC_1$ равен углу $\angle BAC$ : оба его луча противоположны лучам исходного угла. Мы получили две пропорциональные стороны и равные углы между ними. Значит, требуемые треугольники подобны.

\angle B_1AC_1

=\angle BAC

\triangle AB_1C_1\sim\triangle ABC

Что проверяет эксперт в задании №24

За задание можно получить до 2 баллов. Требуется доказать утверждение для всех фигур, которые удовлетворяют условию.

2 балла: Доказательство верное, все необходимые шаги обоснованы.
1 балл: Доказательство в целом верное, но содержит отдельные неточности.
0 баллов: Решение не соответствует указанным критериям. Измерения по рисунку и проверка одного частного примера не заменяют доказательство.

Источники: проект демоверсии ФИПИ 2027 (задание 24) и материалы для экспертов 2026. Допустим другой математически верный способ доказательства.

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Выполнен чертёж с обозначениями из условия и всеми вспомогательными точками.Каждый переход обоснован определением, свойством или теоремой; доказательство подходит для любой фигуры из условия.Получено именно утверждение из задания: треугольники AB_{1} C_{1} и ABC подобны.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены логические переходы в доказательствах, обозначения и соответствие чертежей условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Учитываем положение оснований высот
Сравниваем два прямоугольных треугольника
Применяем второй признак подобия

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

В тупоугольном треугольнике два основания высот лежат на продолжениях сторон.
Если оба луча угла заменить противоположными, величина угла не изменится.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Не переносите основания этих высот внутрь сторон: это изменит конфигурацию задачи.
Вспомогательные прямоугольные треугольники и треугольники, подобие которых требуется доказать, — разные пары.

Все задания №24 (60)