Биссектрисы углов и четырёхугольника пересекаются в точке , лежащей на стороне . Докажите, что точка равноудалена
от прямых , и .
Длинные формулы можно прокрутить вбок.
Запишите номер 24, выполните чертёж и приведите полное доказательство, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.
Условие: открытый банк ФИПИ, задание 991A27.
Чертёж и последовательное доказательство.
№24.
Опустим из точки M перпендикуляры ME, MF, MG на прямые AB, AD, DC соответственно. Именно их длины являются расстояниями от точки до этих прямых.
Точка M лежит на биссектрисе угла при A, поэтому равноудалена от его сторон:
Из биссектрисы угла при D получаем второе равенство и объединяем результаты.
Что и требовалось доказать.
На экзамене запишите номер задания, выполните чертёж и обоснуйте каждый шаг доказательства. Переписывать условие не требуется. Допустим другой математически верный способ решения.
Докажите, что точка M равноудалена от прямых AB, AD и CD.
Равноудалённость от прямых и биссектрисы. Докажите, что точка M равноудалена от прямых AB, AD и CD.
Опустим из точки M перпендикуляры ME, MF, MG на прямые AB, AD, DC соответственно. Именно их длины являются расстояниями от точки до этих прямых.
Точка M лежит на биссектрисе угла при A. Прямоугольные треугольники AME и AMF имеют общую гипотенузу AM и равные острые углы при A. Они равны, поэтому равны их катеты, выражающие расстояния.
Аналогично точка M лежит на биссектрисе угла при D, поэтому её расстояния до прямых AD и DC равны. В обеих парах участвует расстояние MF, значит, равны все три расстояния.
За задание можно получить до 2 баллов. Требуется доказать утверждение для всех фигур, которые удовлетворяют условию.
Источники: проект демоверсии ФИПИ 2027 (задание 24) и материалы для экспертов 2026. Допустим другой математически верный способ доказательства.
Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.
Проверено пунктов: 0 из 3.
Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены логические переходы в доказательствах, обозначения и соответствие чертежей условию.