Окружности с центрами в точках и пересекаются в точках и , причём точки и лежат по одну сторону от прямой . Докажите,
что прямые и перпендикулярны.
Длинные формулы можно прокрутить вбок.
Запишите номер 24, выполните чертёж и приведите полное доказательство, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.
Условие: открытый банк ФИПИ, задание C60AED.
Чертёж и последовательное доказательство.
№24.
Точки A и B лежат на окружности с центром I. Поэтому отрезки IA и IB равны как её радиусы. Значит, центр I равноудалён от концов общей хорды.
По той же причине центр J равноудалён от A и B: соответствующие отрезки являются радиусами второй окружности.
Оба центра лежат на серединном перпендикуляре к AB. Поэтому прямая IJ совпадает с ним.
Что и требовалось доказать.
На экзамене запишите номер задания, выполните чертёж и обоснуйте каждый шаг доказательства. Переписывать условие не требуется. Допустим другой математически верный способ решения.
Докажите, что прямые AB и IJ перпендикулярны.
Линия центров и общая хорда окружностей. Докажите, что прямые AB и IJ перпендикулярны.
Точки A и B лежат на окружности с центром I. Поэтому отрезки IA и IB равны как её радиусы. Значит, центр I равноудалён от концов общей хорды.
По той же причине центр J равноудалён от A и B: соответствующие отрезки являются радиусами второй окружности.
Все точки, равноудалённые от концов отрезка, лежат на его серединном перпендикуляре. Оба различных центра I и J лежат на серединном перпендикуляре к AB. Следовательно, соединяющая их прямая и есть этот перпендикуляр.
За задание можно получить до 2 баллов. Требуется доказать утверждение для всех фигур, которые удовлетворяют условию.
Источники: проект демоверсии ФИПИ 2027 (задание 24) и материалы для экспертов 2026. Допустим другой математически верный способ доказательства.
Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.
Проверено пунктов: 0 из 3.
Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены логические переходы в доказательствах, обозначения и соответствие чертежей условию.